Ejercicio resuelto de pH · Química · Comunidad Valenciana · 2020

Problema 3.- Equilibrio ácido-base. Cálculos estequiométricos.

Cierto vinagre comercial tiene un 6,0 % en masa de ácido acético, ${\text{CH}}_3\text{COOH}$.

a) Calcule el pH de este vinagre, sabiendo que su densidad es de 1,05 $\text{g}\cdot {\text{mL}}^{-1}$. (1 punto)

b) Determine la cantidad (en gramos) de este vinagre que debe diluirse en agua para preparar 650 mL de disolución de pH 3,5. (1 punto)

Datos: $K_a({\text{CH}}_3\text{COOH})=\mathrm{1,8}\cdot {10}^{-5}$. Masas atómicas relativas: H (1); C (12); O (16).

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{pH}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{vinagre,}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{densidad}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1,05}}\mathbf{\text{g}}\cdot {\mathbf{\text{mL}}}^{-1}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El porcentaje en masa no sirve directamente: hay que convertirlo en concentración molar, y para eso se razona sobre un litro.

$m_{\text{disoluci}\acute{\text{o}}\text{n}}=1000\cdot \mathrm{1,05}=1050\text{ g}$

$m(\mathrm{C}{\mathrm{H}}_3\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H})=1050\cdot \mathrm{0,060}=\mathrm{63,0}\text{ g}$

$M(\mathrm{C}{\mathrm{H}}_3\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H})=2\cdot 12+4\cdot 1+2\cdot 16=60\text{ g/mol}$

$c=\frac{\mathrm{63,0}}{60}=\mathrm{1,05}\text{ M}$

Ahora el equilibrio de disociación:

$K_a=\frac{x^2}{c-x}=\mathrm{1,8}\cdot {10}^{-5}$

Aquí sí se puede aproximar, y conviene comprobarlo antes:

$\frac{c}{K_a}=\frac{\mathrm{1,05}}{\mathrm{1,8}\cdot {10}^{-5}}=\mathrm{5,8}\cdot {10}^4\gg 100$

$x^2\approx \mathrm{1,8}\cdot {10}^{-5}\cdot \mathrm{1,05}=\mathrm{1,89}\cdot {10}^{-5}$

$x=[{\mathrm{H}}_3{\mathrm{O}}^{+}]=\mathrm{4,34}\cdot {10}^{-3}\text{ M}$

$\mathrm{p}\mathrm{H}=-\log (\mathrm{4,34}\cdot {10}^{-3})=\mathrm{2,36}$

El grado de disociación es $\alpha =\mathrm{4,34}\cdot {10}^{-3}\mathrm{/}\mathrm{1,05}=\mathrm{0,41}\mathrm{\%}$, muy por debajo del 5 %, lo que confirma que la aproximación era legítima.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{(en}}\mathbf{\text{gramos)}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{vinagre}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{diluirse}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{agua}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{preparar}}\mathbf{\text{650}}\mathbf{\text{mL}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{disoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{pH}}\mathbf{\text{3,5.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Se recorre el camino al revés: del pH a la concentración de ácido, y de ahí a los gramos de vinagre.

$[{\mathrm{H}}_3{\mathrm{O}}^{+}]={10}^{-\mathrm{3,5}}=\mathrm{3,162}\cdot {10}^{-4}\text{ M}$

$c=\frac{x^2}{K_a}+x=\frac{(\mathrm{3,162}\cdot {10}^{-4}{)}^2}{\mathrm{1,8}\cdot {10}^{-5}}+\mathrm{3,162}\cdot {10}^{-4}$

$c=\mathrm{5,556}\cdot {10}^{-3}+\mathrm{3,162}\cdot {10}^{-4}=\mathrm{5,872}\cdot {10}^{-3}\text{ M}$

Nótese que ahora $x$ no es despreciable frente a $c$ —supone un 5 %—, así que no se puede omitir el segundo sumando.

$n=\mathrm{5,872}\cdot {10}^{-3}\cdot \mathrm{0,650}=\mathrm{3,817}\cdot {10}^{-3}\text{ mol}$

$m(\mathrm{C}{\mathrm{H}}_3\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H})=\mathrm{3,817}\cdot {10}^{-3}\cdot 60=\mathrm{0,229}\text{ g}$

Y ese es el ácido puro; lo que se pide son los gramos de $\mathbf{\text{vinagre}}$, que solo lleva un 6 %:

$m_{\text{vinagre}}=\frac{\mathrm{0,229}}{\mathrm{0,060}}=\mathrm{3,82}\text{ g}$