Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

B.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dadas las funciones

$f(x)=2+2x-2x^{2}yg(x)=2-6x+4x^2+2x^3$,

se pide:
a) (1 punto) Estudiar la derivabilidad de $h(x)=\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }$.
b) (1.5 puntos) Hallar el área de la región acotada por las curvas $y=f(x),y=g(x),x=0yx=2$.

El valor absoluto solo puede estropear la derivabilidad donde la función de dentro cambia de signo, así que empezamos por sus raíces.

$2+2x-2x^2=0\Rightarrow x^2-x-1=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}}$

Fuera de esos dos puntos, $h$ coincide con $f$ o con $-f$, que son polinomios y por tanto derivables. En las raíces comparamos las derivadas laterales.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2-4x;{(-f(x))}^{\mathrm{\prime }}=4x-2$

$2-4x=4x-2\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Las dos derivadas solo coinciden en $x=\frac{1}{2}$, que no es ninguna de las raíces, así que en las raíces las derivadas laterales son opuestas y no nulas.



La función $h$ es derivable en todo $\mathbb{R}$ salvo en $x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ y $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, donde presenta dos picos.



Antes de integrar hay que ver si las curvas se cruzan dentro del intervalo, porque entonces el área va por trozos. Calculamos la diferencia y la factorizamos.

$f(x)-g(x)=8x-6x^2-2x^3=2x(x+4)(1-x)$

$f(x)-g(x)=0\Rightarrow x=0,x=1,x=-4$

Dentro de $[0,2]$ el corte relevante es $x=1$: la diferencia es positiva en $(0,1)$ y negativa en $(1,2)$.



Integramos cada trozo con la función de arriba menos la de abajo.

${\mathcal{A}}_1={\int }_0^1(8x-6x^2-2x^3)dx={[4x^2-2x^3-{\displaystyle \frac{x^4}{2}}]}_0^1={\displaystyle \frac{3}{2}}$

${\mathcal{A}}_2={\int }_1^2(2x^3+6x^2-8x)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{2}}+2x^3-4x^2]}_1^2={\displaystyle \frac{19}{2}}$

$\mathcal{A}={\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{19}{2}}=11$

El área de la región es de 11 unidades de superficie.