Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

B.2. Calificación máxima: 2,5 puntos.

Calcule:

a) (1,25 puntos) ${\int }_1^e(x+2)\ln xdx$.
b) (1,25 puntos) ${\lim }_{x\to \frac{\pi }{2}}{(\tan \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{x}{2}\right))}^{\frac{1}{\cos x}}$.

Es el producto de un polinomio por un logaritmo, así que integramos por partes derivando el logaritmo.

$u=\ln x\Rightarrow du={\displaystyle \frac{1}{x}}dx;dv=(x+2)dx\Rightarrow v={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2x$

$\int (x+2)\ln xdx=({\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2x)\ln x-\int ({\displaystyle \frac{x}{2}}+2)dx$

$=({\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2x)\ln x-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}-2x$



Aplicamos la regla de Barrow entre los dos extremos, teniendo en cuenta que $\ln 1=0$ y $\ln e=1$.

${[({\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2x)\ln x-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}-2x]}_1^e=({\displaystyle \frac{e^2}{2}}+2e-{\displaystyle \frac{e^2}{4}}-2e)-(0-{\displaystyle \frac{1}{4}}-2)$

$={\displaystyle \frac{e^2}{4}}+{\displaystyle \frac{9}{4}}$

La integral vale $\frac{e^2+9}{4}\approx \mathrm{4,097}$, y como la función es positiva en $[1,e]$ ese número es también el área encerrada bajo la curva.



Sustituyendo directamente aparece una indeterminación del tipo $1^{\mathrm{\infty }}$, que se resuelve tomando logaritmos.

$\mathrm{tg}{\displaystyle \frac{\pi }{4}}=1,{\displaystyle \frac{1}{\cos \frac{\pi }{2}}}\to \mathrm{\infty }$

$L={\lim }_{x\to \frac{\pi }{2}}{(\mathrm{tg}{\displaystyle \frac{x}{2}})}^{\frac{1}{\cos x}}\Rightarrow \ln L={\lim }_{x\to \frac{\pi }{2}}{\displaystyle \frac{\ln (\mathrm{tg}\frac{x}{2})}{\cos x}}$

Ahora la indeterminación es $\frac{0}{0}$ y podemos aplicar la regla de L'Hôpital. La derivada del numerador se simplifica con la fórmula del seno del ángulo doble.

${\displaystyle \frac{d}{dx}}\ln (\mathrm{tg}{\displaystyle \frac{x}{2}})={\displaystyle \frac{1}{2\mathrm{sen}\frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{sen}x}}$

$\ln L={\lim }_{x\to \frac{\pi }{2}}{\displaystyle \frac{1\mathrm{/}\mathrm{sen}x}{-\mathrm{sen}x}}={\lim }_{x\to \frac{\pi }{2}}{\displaystyle \frac{-1}{{\mathrm{sen}}^{2}x}}=-1$

Deshacemos el logaritmo para recuperar el límite pedido.

$L=e^{-1}={\displaystyle \frac{1}{e}}$