Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2023

Una carga situada en un punto del plano xy da lugar a un potencial de $54\mathrm{V}$ y a un campo eléctrico $\vec{E}=-180\widehat{j}\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$ en el origen de coordenadas.

a) Determine el valor de la carga y su posición.

b) Se trae una segunda carga desde el infinito hasta el origen de coordenadas, proceso en el que la fuerza ejercida por la primera carga realiza un trabajo de $-270\mathrm{n}\mathrm{J}$. Determine el valor de la segunda carga.

Dato: Constante de la ley de Coulomb, $K=9\cdot {10}^9\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{C}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{A.3}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{situada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}xy\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{lugar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{de}}54\mathrm{V}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\vec{E}=-180\widehat{j}\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coordenadas.}}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Una carga puntual $q$ crea en un punto situado a una distancia $d$ de ella un potencial y un campo eléctrico dados, respectivamente, por:

$V=K{\displaystyle \frac{q}{d}}$

$\mathrm{\mid }\vec{E}\mathrm{\mid }=K{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }}{d^2}}$

donde $K=9\cdot {10}^9\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{C}}^{-2}$ es la constante de Coulomb. El potencial es una magnitud escalar y el campo una magnitud vectorial, pero ambos dependen de la misma carga y de la misma distancia, así que disponemos de dos ecuaciones con dos incógnitas ($q$ y $d$).

Conocemos el valor del potencial en el origen, $V=54\mathrm{V}$, y el módulo del campo en el origen, $\mathrm{\mid }\vec{E}\mathrm{\mid }=180\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$ (ya que $\vec{E}=-180\widehat{j}\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$ tiene módulo $180\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$).

Para hallar la distancia $d$, dividimos miembro a miembro las dos expresiones, de modo que la carga y la constante se simplifican:

${\displaystyle \frac{V}{\mathrm{\mid }\vec{E}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{K{\displaystyle \frac{q}{d}}}{K{\displaystyle \frac{q}{d^2}}}}=d$

Despejando y sustituyendo los valores:

$d={\displaystyle \frac{V}{\mathrm{\mid }\vec{E}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{54\mathrm{V}}{180\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}}}=\mathrm{0,3}\mathrm{m}$

Conocida la distancia, despejamos la carga de la expresión del potencial:

$q={\displaystyle \frac{V\cdot d}{K}}$

Sustituyendo los valores:

$q={\displaystyle \frac{54\mathrm{V}\cdot \mathrm{0,3}\mathrm{m}}{9\cdot {10}^9\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{C}}^{-2}}}=\mathrm{1,8}\cdot {10}^{-9}\mathrm{C}=\mathrm{1,8}\mathrm{n}\mathrm{C}$

Determinemos ahora la posición. El signo de la carga lo fija el potencial: como $V=54\mathrm{V}>0$, la carga es positiva, $q=+\mathrm{1,8}\mathrm{n}\mathrm{C}$.

Para situarla, recordamos que el campo creado por una carga positiva es radial y apunta alejándose de ella. En el origen el campo vale $\vec{E}=-180\widehat{j}\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$, es decir, apunta en el sentido negativo del eje $y$ (hacia abajo). Por tanto, la carga debe estar situada sobre el eje $y$ en el sentido contrario al que apunta el campo, esto es, en el semieje $y$ positivo, a una distancia $d=\mathrm{0,3}\mathrm{m}$ del origen:

$\boxed{{\displaystyle q=+\mathrm{1,8}\mathrm{n}\mathrm{C}\text{ situada en el punto }(0;\mathrm{0,3})\mathrm{m}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{trae}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{infinito}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coordenadas,}}\mathbf{\text{proceso}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{ejercida}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{realiza}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{de}}-270\mathrm{n}\mathrm{J}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{carga.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El trabajo que realiza la fuerza eléctrica (fuerza conservativa) sobre la carga $q^{\mathrm{\prime }}$ al desplazarla entre dos puntos es igual a la disminución de su energía potencial, y se relaciona con la diferencia de potencial mediante:

$W_{\mathrm{\infty }\to 0}=q^{\mathrm{\prime }}(V_{\mathrm{\infty }}-V_0)$

El potencial creado por la primera carga en el infinito es nulo, $V_{\mathrm{\infty }}=0$, y en el origen vale $V_0=54\mathrm{V}$ (el dato del enunciado). La expresión queda:

$W_{\mathrm{\infty }\to 0}=q^{\mathrm{\prime }}(0-V_0)=-q^{\mathrm{\prime }}{V}_0$

Despejando la segunda carga:

$q^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{W_{\mathrm{\infty }\to 0}}{V_0}}$

Sustituyendo los valores, con $W_{\mathrm{\infty }\to 0}=-270\mathrm{n}\mathrm{J}=-270\cdot {10}^{-9}\mathrm{J}$:

$q^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{-270\cdot {10}^{-9}\mathrm{J}}{54\mathrm{V}}}=5\cdot {10}^{-9}\mathrm{C}=5\mathrm{n}\mathrm{C}$

El resultado es positivo, lo cual es coherente: traer una carga positiva hacia otra carga positiva exige vencer la repulsión, de modo que la fuerza eléctrica se opone al desplazamiento y su trabajo es negativo, tal como indica el enunciado.

$\boxed{{\displaystyle q^{\mathrm{\prime }}=+5\cdot {10}^{-9}\mathrm{C}=+5\mathrm{n}\mathrm{C}}}$