Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Galicia · 2020

PREGUNTA 6. Resuelva este problema:
Un dipolo eléctrico es un sistema formado por dos cargas del mismo valor y de signo contrario que están separadas una distancia fija. Si el valor absoluto de cada una de las cargas es 2 $\mu \mathrm{C}$ y están situadas en los puntos (0,0) y (4,0), calcule:

a) el potencial eléctrico creado por el dipolo en el punto (2,2);
b) la aceleración que experimenta un protón situado en el punto medio del dipolo.

DATOS: $K=9\times {10}^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{C}}^{-2}$; $q_p=\mathrm{1,6}\times {10}^{-19}$ C; $m_p=\mathrm{1,67}\times {10}^{-27}$ kg. Las distancias están en metros.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{creado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dipolo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{(2,2);}}$










El potencial creado por varias cargas puntuales es un escalar y se suma directamente, respetando el signo de cada carga:

$V=K{\sum }_i{\displaystyle \frac{q_i}{r_i}}$

El punto $P(2,2)$ está sobre la mediatriz del segmento que une las cargas, así que equidista de las dos:

$r_1=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\text{ m}$

$r_2=\sqrt{(4-2{)}^2+2^2}=2\sqrt{2}\text{ m}$





Las dos cargas tienen el mismo valor absoluto y signos opuestos, y están a la misma distancia:

$V_P=K{\displaystyle \frac{+q}{2\sqrt{2}}}+K{\displaystyle \frac{-q}{2\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{Kq}{2\sqrt{2}}}(1-1)$

$V_P=0\text{ V}$

El potencial en $(2,2)$ es nulo. El resultado no depende de cuál de las dos cargas sea la positiva, ni de la distancia al dipolo: toda la mediatriz del segmento que une las cargas —y en tres dimensiones, todo el plano perpendicular por su punto medio— es una superficie equipotencial de potencial cero. Ojo: que el potencial sea nulo no significa que el campo lo sea.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{experimenta}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{prot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{dipolo.}}$

El punto medio es $M(2,0)$, a 2 m de cada carga. Tomamos la carga positiva en el origen y la negativa en $(4,0)$; si fuese al contrario solo cambiaría el sentido del resultado.

Los módulos de los dos campos son iguales, porque las cargas y las distancias lo son:

$E_1=E_2=K{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }}{r^2}}=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-6}}{2^2}}=\mathrm{4,5}\cdot {10}^3\text{ N/C}$

El campo de la carga positiva se aleja de ella y el de la negativa apunta hacia ella, de modo que en el punto medio los dos van en el mismo sentido, de la carga positiva a la negativa. Por el principio de superposición se suman:

${\vec{E}}_M={\vec{E}}_1+{\vec{E}}_2=2\cdot \mathrm{4,5}\cdot {10}^3\vec{\mathrm{ı}}=\mathrm{9,0}\cdot {10}^3\vec{\mathrm{ı}}\text{ N/C}$

La fuerza sobre el protón, de carga positiva, tiene el mismo sentido que el campo:

$F=q_p{E}_M=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{9,0}\cdot {10}^3=\mathrm{1,44}\cdot {10}^{-15}\text{ N}$

Aplicando el segundo principio de la dinámica de Newton:

$a={\displaystyle \frac{F}{m_p}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,44}\cdot {10}^{-15}}{\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}}}$

$a=\mathrm{8,62}\cdot {10}^{11}{\text{m/s}}^2$

La aceleración del protón es $\mathrm{8,62}\cdot {10}^{11}{\text{m/s}}^2$, dirigida a lo largo del eje $X$ desde la carga positiva hacia la negativa. Es enorme comparada con la gravedad, lo que muestra hasta qué punto la interacción eléctrica domina sobre la gravitatoria a escala de las partículas.