Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2023

Tres cargas $-q$, $-q$ y $+2q$ se encuentran situadas en los puntos del plano $(-a,a)$, $(a,a)$ y $(0,0)$, respectivamente, tal y como se describe en la figura. Determine, en función de la constante de Coulomb, $K$, el valor de la carga, $q$, y la distancia, $a$:
a) La expresión de la fuerza electrostática que se ejerce sobre la carga situada en la posición $(a,a)$ y la expresión del trabajo que hubiera realizado esa fuerza electrostática para traer la carga $-q$ desde el infinito a la posición $(a,a)$.
b) El flujo del campo eléctrico a través de las superficies cerradas $S_1$ y $S_2$.

Dato: Permitividad eléctrica del vacío, $\epsilon ={\displaystyle \frac{1}{4\pi K}}$.

Tomamos $\widehat{\mathit{x}}$ y $\widehat{\mathit{y}}$ como vectores unitarios de los ejes. Las distancias relevantes entre las cargas son: entre los dos puntos superiores, $(-a,a)$ y $(a,a)$, la separación es $2a$; entre cualquiera de los puntos superiores y el origen, $\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.



Sobre la carga $-q$ del punto $(a,a)$ actúan dos fuerzas, una por cada una de las otras dos cargas. Aplicamos la ley de Coulomb a cada par.

Fuerza ejercida por la carga $-q$ situada en $(-a,a)$. Al ser ambas del mismo signo, la fuerza es repulsiva y, por la geometría, apunta en el sentido positivo del eje $X$. Su módulo es:

$\mathrm{\mid }{\vec{F}}_1\mathrm{\mid }=K{\displaystyle \frac{q\cdot q}{(2a{)}^2}}={\displaystyle \frac{K{q}^2}{4a^2}}$

${\vec{F}}_1={\displaystyle \frac{K{q}^2}{4a^2}}\widehat{\mathit{x}}$

Fuerza ejercida por la carga $+2q$ situada en el origen. Al ser de signos opuestos, la fuerza es atractiva y apunta desde $(a,a)$ hacia el origen. Su módulo es:

$\mathrm{\mid }{\vec{F}}_2\mathrm{\mid }=K{\displaystyle \frac{2q\cdot q}{(a\sqrt{2}{)}^2}}=K{\displaystyle \frac{2q^2}{2a^2}}={\displaystyle \frac{K{q}^2}{a^2}}$

El vector unitario que va de $(a,a)$ al origen es $\widehat{\mathit{u}}={\displaystyle \frac{(-a,-a)}{a\sqrt{2}}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\widehat{\mathit{x}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\widehat{\mathit{y}}$, de modo que:

${\vec{F}}_2={\displaystyle \frac{K{q}^2}{a^2}}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\widehat{\mathit{x}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\widehat{\mathit{y}})$

Sumamos las dos contribuciones componente a componente:

$F_x={\displaystyle \frac{K{q}^2}{4a^2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{\displaystyle \frac{K{q}^2}{a^2}}={\displaystyle \frac{K{q}^2}{4a^2}}(1-2\sqrt{2})$

$F_y=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{\displaystyle \frac{K{q}^2}{a^2}}=-{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{4}}{\displaystyle \frac{K{q}^2}{a^2}}$

Por tanto, la fuerza resultante es:

$\boxed{{\displaystyle \vec{F}={\displaystyle \frac{K{q}^2}{4a^2}}[(1-2\sqrt{2})\widehat{\mathit{x}}-2\sqrt{2}\widehat{\mathit{y}}]\approx {\displaystyle \frac{K{q}^2}{a^2}}(-\mathrm{0,457}\widehat{\mathit{x}}-\mathrm{0,707}\widehat{\mathit{y}})(\mathrm{N})}}$

cuyo módulo vale:

$\mathrm{\mid }\vec{F}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{K{q}^2}{a^2}}\sqrt{{\mathrm{0,457}}^2+{\mathrm{0,707}}^2}\approx \mathrm{0,842}{\displaystyle \frac{K{q}^2}{a^2}}\mathrm{N}$



Para el trabajo recordamos que el trabajo que realiza la fuerza electrostática al trasladar una carga $q_0$ desde el infinito hasta un punto $P$ es:

$W_{\mathrm{\infty }\to P}=q_0(V_{\mathrm{\infty }}-V_P)=-q_0{V}_P$

donde $V_P$ es el potencial que crean en $(a,a)$ las otras dos cargas (el potencial en el infinito es nulo). Calculamos $V_P$ sumando las contribuciones de la carga $-q$ situada a $2a$ y de la carga $+2q$ situada a $a\sqrt{2}$:

$V_P=K{\displaystyle \frac{-q}{2a}}+K{\displaystyle \frac{2q}{a\sqrt{2}}}=-{\displaystyle \frac{Kq}{2a}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}Kq}{a}}={\displaystyle \frac{Kq}{2a}}(2\sqrt{2}-1)$

La carga que traemos es $q_0=-q$. Sustituyendo:

$W_{\mathrm{\infty }\to (a,a)}=-(-q)V_P=q\cdot {\displaystyle \frac{Kq}{2a}}(2\sqrt{2}-1)$

$\boxed{{\displaystyle W_{\mathrm{\infty }\to (a,a)}={\displaystyle \frac{K{q}^2}{2a}}(2\sqrt{2}-1)\approx \mathrm{0,914}{\displaystyle \frac{K{q}^2}{a}}\mathrm{J}}}$

El trabajo es positivo, lo que es coherente: la atracción de la carga central $+2q$ predomina sobre la repulsión de la carga $-q$ vecina, de modo que el campo "ayuda" a traer la carga $-q$ hasta su posición.



Aplicamos el teorema de Gauss, que afirma que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada sólo depende de la carga neta encerrada en su interior:

$\mathrm{\Phi }=\oint \vec{E}\cdot d\vec{S}={\displaystyle \frac{Q_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}}{\epsilon }}=4\pi K{Q}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}$

donde hemos usado el dato $\epsilon ={\displaystyle \frac{1}{4\pi K}}$.

Según la figura, la superficie $S_1$ encierra únicamente la carga $-q$ de $(-a,a)$ y la carga $+2q$ del origen (la carga $-q$ de $(a,a)$ queda fuera). La carga neta interior es:

$Q_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t},1}=-q+2q=+q$

$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{\Phi }}_1={\displaystyle \frac{q}{\epsilon }}=4\pi Kq(\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2\mathrm{/}\mathrm{C})}}$

La superficie $S_2$ encierra las tres cargas. La carga neta interior es:

$Q_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t},2}=-q-q+2q=0$

$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{\Phi }}_2={\displaystyle \frac{0}{\epsilon }}=0\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2\mathrm{/}\mathrm{C}}}$

Obsérvese que el flujo a través de $S_2$ es nulo aunque el campo eléctrico no lo sea sobre la superficie: al ser la carga neta encerrada igual a cero, entran tantas líneas de campo como salen.