Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2024

Dos partículas situadas en los puntos $(-6,0)\mathrm{m}\mathrm{m}$ y $(6,0)\mathrm{m}\mathrm{m}$ del plano $xy$ poseen cargas iguales de $+9\mathrm{n}\mathrm{C}$. Obtenga el potencial eléctrico y el campo eléctrico en:

a) El origen de coordenadas.
b) El punto $(0,3)\mathrm{m}\mathrm{m}$.

Dato: Constante de la ley de Coulomb, $K=9\cdot {10}^9\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{C}}^{-2}$.

El potencial creado por una carga puntual es $V=Kq\mathrm{/}r$ y es una magnitud escalar, así que los potenciales se suman directamente. El campo, en cambio, es vectorial y hay que sumarlo componente a componente.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coordenadas.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










Las dos cargas están a la misma distancia del origen:

$r=6\text{ mm}=6\cdot {10}^{-3}\text{ m}$

y son iguales, de modo que crean el mismo potencial y campos del mismo módulo.





$V_O=2K{\displaystyle \frac{q}{r}}=2\cdot {\displaystyle \frac{9\cdot {10}^9\cdot 9\cdot {10}^{-9}}{6\cdot {10}^{-3}}}=\mathrm{2,7}\cdot {10}^4\text{ V}$

Los dos campos apuntan hacia fuera de sus cargas, es decir, uno hacia $+X$ y otro hacia $-X$. Al ser iguales en módulo, por el principio de superposición:

${\vec{E}}_O=\vec{0}$

En el origen el potencial vale $\mathrm{2,7}\cdot {10}^4\text{ V}$ y el campo eléctrico es nulo: es el punto de simetría entre dos cargas iguales.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">3</mn><mo\; stretchy="false">)</mo><mtext> mm</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Ahora la distancia a cada carga es la hipotenusa:

$r=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=\mathrm{6,71}\text{ mm}=\mathrm{6,71}\cdot {10}^{-3}\text{ m}$

$V=2K{\displaystyle \frac{q}{r}}=2\cdot {\displaystyle \frac{9\cdot {10}^9\cdot 9\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{6,71}\cdot {10}^{-3}}}=\mathrm{2,41}\cdot {10}^4\text{ V}$

El módulo de cada campo es:

$E_1=E_2=K{\displaystyle \frac{q}{r^2}}={\displaystyle \frac{9\cdot {10}^9\cdot 9\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{4,5}\cdot {10}^{-5}}}=\mathrm{1,80}\cdot {10}^6\text{ N/C}$

Por simetría las componentes horizontales se cancelan y solo sobreviven las verticales, con $\cos \theta =3\mathrm{/}\sqrt{45}$:

$\vec{E}=2E_1{\displaystyle \frac{3}{\sqrt{45}}}\vec{\mathrm{ȷ}}=\mathrm{1,61}\cdot {10}^6\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N/C}$

En el punto $(0,3)\text{ mm}$ el potencial vale $\mathrm{2,41}\cdot {10}^4\text{ V}$ y el campo eléctrico tiene la dirección del eje $Y$, sentido positivo, y módulo $\mathrm{1,61}\cdot {10}^6\text{ N/C}$.