Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Galicia · 2021

PREGUNTA 2. Responda indicando y justificando la opción correcta:

2.1. A una esfera metálica se le comunica una carga positiva. El campo eléctrico: a) aumenta linealmente desde el centro de la esfera hasta la superficie; b) es nulo en el interior y constante en el exterior de la esfera; c) es máximo en la superficie de la esfera y nulo en el interior.
2.2. Se observa que el número de núcleos $N_0$ inicialmente presentes en una muestra de isótopo radiactivo queda reducido a $N_0\mathrm{/}16$ al cabo de 24 horas. El período de semidesintegración es: a) 4 h; b) 6 h; c) 8,6 h.

$\mathbf{\text{2.1.}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{esfera}}\mathbf{\text{met}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lica}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{comunica}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{positiva.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico:}}$

La respuesta correcta es la c): es máximo en la superficie de la esfera y nulo en el interior.

En un conductor en equilibrio electrostático toda la carga se distribuye por la superficie exterior, porque las cargas del mismo signo se repelen y se separan lo más posible. Aplicando la ley de Gauss a una superficie esférica de radio $r<R$ contenida en el metal, la carga encerrada es nula:

$\oint \vec{E}\cdot d\vec{S}={\displaystyle \frac{Q_{\text{enc}}}{{\epsilon }_0}}=0\Rightarrow \vec{E}=\vec{0}(r<R)$

En el exterior, tomando una superficie esférica de radio $r>R$ concéntrica con la esfera, queda encerrada toda la carga y el campo es el de una carga puntual situada en el centro:

$E=K{\displaystyle \frac{Q}{r^2}}(r\ge R)$

Esta expresión decrece con la distancia, así que su valor máximo se alcanza en $r=R$, es decir, en la superficie:

$E_{\max }=K{\displaystyle \frac{Q}{R^2}}$

Se descarta la opción a) porque el campo en el interior es nulo, no creciente —el crecimiento lineal correspondería a una esfera con carga distribuida en todo su volumen—, y la b) porque el campo exterior no es constante, sino que decae con el cuadrado de la distancia.



La respuesta correcta es la b): 6 h.

En cada período de semidesintegración el número de núcleos se reduce a la mitad, así que al cabo de $n$ períodos queda:

$N={\displaystyle \frac{N_0}{2^n}}$

Imponemos la condición del enunciado:

${\displaystyle \frac{N_0}{16}}={\displaystyle \frac{N_0}{2^n}}\Rightarrow 2^n=16=2^4\Rightarrow n=4$

Han transcurrido cuatro períodos de semidesintegración en 24 horas:

$T_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{24}{4}}=6\text{ h}$

El período de semidesintegración es de 6 horas. Se comprueba con la ley de desintegración:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{6}}=\mathrm{0,1155}{\text{h}}^{-1}$

$N=N_0{e}^{-\mathrm{0,1155}\cdot 24}=N_0{e}^{-\mathrm{2,773}}={\displaystyle \frac{N_0}{16}}$