Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Galicia · 2023

PREGUNTA 6. Resuelva este problema:
En una región del espacio en la que hay un campo eléctrico de intensidad $\vec{E}=6\times {10}^3\widehat{\mathrm{ı}}$ $\mathrm{N}{\mathrm{C}}^{-1}$ cuelga, de un hilo de 20 cm de longitud, una esfera metálica que posee una carga eléctrica de 8 $\mu \mathrm{C}$ y tiene una masa de 4 g. Calcule:

a) el ángulo que forma el hilo con la vertical;
b) la velocidad de la esfera cuando pasa por la vertical al desaparecer el campo eléctrico.

DATO: $\vec{g}=-\mathrm{9,8}\widehat{\mathrm{ȷ}}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{hilo}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{vertical;}}$










Sobre la esfera actúan tres fuerzas: el peso, vertical y hacia abajo; la fuerza eléctrica, horizontal y en el sentido del campo por ser la carga positiva; y la tensión del hilo, en la dirección del hilo.

En el equilibrio la resultante es nula, así que la tensión ha de equilibrar a la suma de las otras dos. Descomponiendo en los dos ejes, con $\theta$ el ángulo del hilo con la vertical:

$T\text{sen}\theta =qE$

$T\cos \theta =mg$





Dividiendo las dos ecuaciones desaparece la tensión, que no se pide:

$\tan \theta ={\displaystyle \frac{qE}{mg}}$

Expresamos los datos en unidades del SI:

$q=8\mu \text{C}=8\cdot {10}^{-6}\text{ C}m=4\text{ g}=4\cdot {10}^{-3}\text{ kg}$

$\tan \theta ={\displaystyle \frac{8\cdot {10}^{-6}\cdot 6\cdot {10}^3}{4\cdot {10}^{-3}\cdot \mathrm{9,8}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{4,8}\cdot {10}^{-2}}{\mathrm{3,92}\cdot {10}^{-2}}}=\mathrm{1,22}$

$\theta =\arctan \mathrm{1,22}={\mathrm{50,8}}^{\circ }$

El hilo forma un ángulo de ${\mathrm{50,8}}^{\circ }$ con la vertical. Nótese que el resultado no depende de la longitud del hilo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{esfera}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{vertical}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{desaparecer}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico.}}$

Al desaparecer el campo eléctrico, la única fuerza que hace trabajo es el peso, porque la tensión es en todo instante perpendicular al desplazamiento. La esfera se comporta como un péndulo que parte del reposo en la posición desviada y oscila hacia la vertical, de modo que se conserva la energía mecánica:

$\mathrm{\Delta }{E}_c+\mathrm{\Delta }{E}_p=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2=mg\mathrm{\Delta }h$

La altura que desciende es la diferencia entre la longitud del hilo y su proyección vertical en la posición inicial:

$\mathrm{\Delta }h=L-L\cos \theta =L(1-\cos \theta )$

$\mathrm{\Delta }h=\mathrm{0,20}(1-\cos {\mathrm{50,8}}^{\circ })=\mathrm{0,20}(1-\mathrm{0,633})=\mathrm{7,35}\cdot {10}^{-2}\text{ m}$

Se simplifica la masa —el resultado no depende de ella— y queda:

$v=\sqrt{2gL(1-\cos \theta )}$

$v=\sqrt{2\cdot \mathrm{9,8}\cdot \mathrm{7,35}\cdot {10}^{-2}}$

$v=\mathrm{1,20}\text{ m/s}$

La esfera pasa por la vertical con una velocidad de $\mathrm{1,20}\text{ m/s}$, que es la máxima de la oscilación, porque en ese punto toda la energía potencial ganada se ha convertido en cinética.