Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2024

Una partícula con carga $2\mathrm{n}\mathrm{C}$ está situada en el origen de coordenadas mientras que una segunda partícula con carga $4\mathrm{n}\mathrm{C}$ está situada en el punto $(6,0)\mathrm{m}$ del plano $xy$.

a) Obtenga el campo eléctrico generado por ambas cargas en el punto $(2,2)\mathrm{m}$.

b) Determine el punto situado entre ambas cargas en el que si situásemos un electrón la fuerza total sobre este sería nula. Obtenga el trabajo realizado por la fuerza electrostática para traer dicho electrón desde el infinito hasta el punto anterior.

Datos: Constante de la ley de Coulomb, $K=9\cdot {10}^9\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{C}}^{-2}$; Valor absoluto de la carga del electrón, $e=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{C}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{generado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{cargas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; stretchy="false">)</mo><mtext> m</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










El campo creado por una carga puntual es $\vec{E}=Kq\mathrm{/}{r}^2{\vec{u}}_r$ y, al ser las dos cargas positivas, ambos apuntan alejándose de ellas.

Las distancias al punto son:

$d_1=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}\text{ m}$

$d_2=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}\text{ m}$





${\vec{E}}_1=K{\displaystyle \frac{q_1}{d_1^2}}({\displaystyle \frac{2}{\sqrt{8}}}\vec{\mathrm{ı}}+{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{8}}}\vec{\mathrm{ȷ}})={\displaystyle \frac{9\cdot {10}^9\cdot 2\cdot {10}^{-9}}{8}}(\mathrm{0,707}\vec{\mathrm{ı}}+\mathrm{0,707}\vec{\mathrm{ȷ}})$

${\vec{E}}_1=(\mathrm{1,59}\vec{\mathrm{ı}}+\mathrm{1,59}\vec{\mathrm{ȷ}})\text{ N/C}$

${\vec{E}}_2=K{\displaystyle \frac{q_2}{d_2^2}}(-{\displaystyle \frac{4}{\sqrt{20}}}\vec{\mathrm{ı}}+{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{20}}}\vec{\mathrm{ȷ}})={\displaystyle \frac{9\cdot {10}^9\cdot 4\cdot {10}^{-9}}{20}}(-\mathrm{0,894}\vec{\mathrm{ı}}+\mathrm{0,447}\vec{\mathrm{ȷ}})$

${\vec{E}}_2=(-\mathrm{1,61}\vec{\mathrm{ı}}+\mathrm{0,80}\vec{\mathrm{ȷ}})\text{ N/C}$

Por el principio de superposición:

${\vec{E}}_T={\vec{E}}_1+{\vec{E}}_2=(-\mathrm{0,02}\vec{\mathrm{ı}}+\mathrm{2,40}\vec{\mathrm{ȷ}})\text{ N/C}$

El campo en $(2,2)\text{ m}$ vale $(-\mathrm{0,02}\vec{\mathrm{ı}}+\mathrm{2,40}\vec{\mathrm{ȷ}})\text{ N/C}$: las componentes horizontales casi se cancelan y el campo resulta prácticamente vertical.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{cargas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{situ}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{semos}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{nula.}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{realizado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{electrost}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{traer}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{infinito}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{anterior.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El punto buscado está sobre el eje $X$, entre las dos cargas, porque solo ahí los dos campos tienen sentidos opuestos. Igualando sus módulos a una distancia $x$ de la primera carga:

$K{\displaystyle \frac{q_1}{x^2}}=K{\displaystyle \frac{q_2}{(6-x{)}^2}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{2}{x^2}}={\displaystyle \frac{4}{(6-x{)}^2}}$

$\sqrt{2}(6-x)=2x\Rightarrow x=\mathrm{2,49}\text{ m}$

El punto es $(\mathrm{2,49},0)\text{ m}$. El trabajo de la fuerza electrostática al traer el electrón desde el infinito se calcula con la diferencia de potenciales, tomando el potencial nulo en el infinito:

$W=q(V_{\mathrm{\infty }}-V)=-qV=-q(K{\displaystyle \frac{q_1}{x}}+K{\displaystyle \frac{q_2}{6-x}})$

$W=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot 9\cdot {10}^9({\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{2,49}}}+{\displaystyle \frac{4\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{3,51}}})$

$W=\mathrm{2,80}\cdot {10}^{-18}\text{ J}$

El campo es nulo en $(\mathrm{2,49},0)\text{ m}$ y el trabajo que realiza la fuerza electrostática al traer allí el electrón desde el infinito es $\mathrm{2,80}\cdot {10}^{-18}\text{ J}$. Es positivo porque el electrón, negativo, es atraído por las dos cargas positivas.