Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

B.3. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Sean las rectas $r\equiv \{\begin{array}{l}x+y+2=0\\ y-2z+1=0\end{array}$ y $s\equiv \{\begin{array}{l}x=2-2t\\ y=5+2t,t\in \mathbb{R}\\ z=t\end{array}$.

a) (1.5 puntos) Estudie la posición relativa de las rectas dadas y calcule la distancia entre ellas.
b) (0.5 puntos) Determine una ecuación del plano $\pi$ que contiene a las rectas $r$ y $s$.
c) (0.5 puntos) Sean $P$ y $Q$ los puntos de las rectas $r$ y $s$, respectivamente, que están contenidos en el plano de ecuación $z=0$. Calcular una ecuación de la recta que pasa por los puntos $P$ y $Q$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{dadas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{ellas.}}$

De $r$, dada como intersección de dos planos, obtenemos el director con el producto vectorial de los normales; el de $s$ se lee directamente en sus paramétricas.

${\vec{v}}_r=(1,1,0)\times (0,1,-2)=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& -2\end{array}\mid =(-2,2,1);{\vec{v}}_s=(-2,2,1)$

Los directores son iguales, luego las rectas son paralelas o coincidentes. Tomamos un punto de cada una haciendo $z=0$ en $r$ y $t=0$ en $s$.

$A(-1,-1,0)\in r;B(2,5,0)\in s$

$\overrightarrow{AB}=(3,6,0)$

$\overrightarrow{AB}$ no es proporcional a ${\vec{v}}_s$, así que $A\mathrm{\notin }s$ y las rectas son paralelas y distintas. La distancia entre ellas es la de $A$ a $s$.



$\overrightarrow{AB}\times {\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 3& 6& 0\\ -2& 2& 1\end{array}\mid =(6,-3,18)$

$d(r,s)={\displaystyle \frac{\mid \overrightarrow{AB}\times {\vec{v}}_s\mid }{\mid {\vec{v}}_s\mid }}={\displaystyle \frac{\sqrt{36+9+324}}{3}}={\displaystyle \frac{\sqrt{369}}{3}}=\sqrt{41}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}$

Dos rectas paralelas determinan un plano, que queda fijado por un punto y las direcciones $\overrightarrow{AB}$ y ${\vec{v}}_s$. Su normal es el producto vectorial que ya hemos calculado.

${\vec{n}}_{\pi }=(6,-3,18)\parallel (2,-1,6)$

$2(x+1)-(y+1)+6z=0\Rightarrow \pi :2x-y+6z+1=0$



Esos puntos son justamente los que ya elegimos en el apartado a) al anular la tercera coordenada.

$P(-1,-1,0);Q(2,5,0)$

$\overrightarrow{PQ}=(3,6,0)$

$(x,y,z)=(2+3t,5+6t,0),t\in \mathbb{R}$