Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

A.3. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Sean el plano $\pi :z=1$, los puntos $P(1,1,1)$ y $Q(0,0,1)$ y la recta $r$ que pasa por los puntos $P$ y $Q$.

a) (0.25 puntos) Verifique que los puntos $P$ y $Q$ pertenecen al plano $\pi$.
b) (1 punto) Halle una recta paralela a $r$ contenida en el plano $z=0$.
c) (1.25 puntos) Halle una recta que pase por $P$ y tal que su proyección ortogonal sobre el plano $\pi$ sea la recta $r$, con la cual forme un ángulo de $\frac{\pi }{4}$ radianes.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(0,25}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Verifique}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathit{P}\mathbf{\text{y}}\mathit{Q}\mathbf{\text{pertenecen}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$

El plano $\pi$ está formado por los puntos cuya tercera coordenada vale 1, y eso es justo lo que cumplen los dos.

$P(1,1,1):z=1;Q(0,0,1):z=1$



Primero escribimos $r$, que pasa por los dos puntos anteriores.

${\vec{v}}_r=\overrightarrow{QP}=(1,1,0)\Rightarrow r\equiv (\lambda ,\lambda ,1)$

Una recta paralela tiene el mismo vector director; para que esté en el plano $z=0$ basta hacerla pasar por un punto de ese plano, por ejemplo el origen.

$s\equiv (\lambda ,\lambda ,0),\lambda \in \mathbb{R}$



Al proyectar sobre $z=1$ solo se pierde la tercera componente, así que si la sombra de la recta buscada es $r$, su director tiene las dos primeras componentes iguales a las de ${\vec{v}}_r$ y la tercera libre.

${\vec{v}}_t=(1,1,v_3)$



Imponemos ahora el ángulo mediante el producto escalar.

$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\mid {\vec{v}}_t\cdot {\vec{v}}_r\mid }{\mid {\vec{v}}_t\mid \mid {\vec{v}}_r\mid }}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2+v_3^2}\cdot \sqrt{2}}}$

${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}\sqrt{2+v_3^2}}}\Rightarrow \sqrt{2+v_3^2}=2$

$v_3^2=2\Rightarrow v_3=\pm \sqrt{2}$

Los dos signos son válidos: dan las dos rectas simétricas respecto del plano, una que sube y otra que baja. Basta con dar una, pasando por $P$.

$t\equiv (1+\lambda ,1+\lambda ,1+\sqrt{2}\lambda ),\lambda \in \mathbb{R}$