Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

B.3. Dada la recta $r\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y}{1}}={\displaystyle \frac{z+1}{-2}}$, el plano $\pi :x-z=2$ y el punto $A(1,1,1)$, se pide:

a) (0.75 puntos) Estudiar la posición relativa de $r$ y $\pi$ y calcular su intersección, si existe.
b) (0.75 puntos) Calcular la proyección ortogonal del punto $A$ sobre el plano $\pi$.
c) (1 punto) Calcular el punto simétrico del punto $A$ con respecto a la recta $r$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Estudiar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{intersecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existe.}}$

La recta es paralela al plano si su director es perpendicular al normal; si el producto escalar no se anula, lo corta en un punto.

${\vec{v}}_r=(2,1,-2),{\vec{n}}_{\pi }=(1,0,-1)$

${\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=2+0+2=4\mathrm{\ne }0\Rightarrow \text{la recta corta al plano}$

Sustituimos el punto genérico de la recta en la ecuación del plano.

$r\equiv (1+2t,t,-1-2t)$

$(1+2t)-(-1-2t)=2\Rightarrow 2+4t=2\Rightarrow t=0$

$r\cap \pi =(1,0,-1)$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proyecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{ortogonal}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{A}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$

La proyección es el pie de la perpendicular al plano trazada desde el punto, así que construimos esa recta con el normal como director.

$s\equiv (1+u,1,1-u)$

$(1+u)-(1-u)=2\Rightarrow 2u=2\Rightarrow u=1$

$A_{\pi }=(2,1,0)$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{sim}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{trico}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{A}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}$

Ahora la simetría es respecto de una recta, no de un plano: el pie $M$ es el punto de $r$ tal que $\overrightarrow{AM}$ es perpendicular al director.

$M(1+2t,t,-1-2t)\Rightarrow \overrightarrow{AM}=(2t,t-1,-2-2t)$

$\overrightarrow{AM}\cdot {\vec{v}}_r=4t+t-1+4+4t=9t+3=0\Rightarrow t=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

$M({\displaystyle \frac{1}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}})$



Como $M$ es el punto medio del segmento que une $A$ con su simétrico, basta avanzar el doble desde $A$.

$A^{\mathrm{\prime }}=2M-A=({\displaystyle \frac{2}{3}}-1,-{\displaystyle \frac{2}{3}}-1,-{\displaystyle \frac{2}{3}}-1)$

$A^{\mathrm{\prime }}(-{\displaystyle \frac{1}{3}},-{\displaystyle \frac{5}{3}},-{\displaystyle \frac{5}{3}})$