Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

B.3. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dados el plano $\pi :x+3y+2z+14=0$ y la recta $r=\{\begin{array}{l}x=2\\ z=5\end{array}$, se pide:

a) (0.5 puntos) Hallar el punto del plano $\pi$ más próximo al origen de coordenadas.
b) (1 punto) Calcular la proyección ortogonal del eje $OZ$ sobre el plano $\pi$.
c) (1 punto) Hallar la recta con dirección perpendicular a $r$, que esté contenida en $\pi$ y que corte al eje $OZ$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{pr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coordenadas.}}$

El punto de un plano más próximo a un punto exterior es el pie de la perpendicular, así que trazamos la recta por el origen con el normal del plano como director.

${\vec{n}}_{\pi }=(1,3,2)\Rightarrow s\equiv (\lambda ,3\lambda ,2\lambda )$



Sustituimos en la ecuación del plano.

$\lambda +9\lambda +4\lambda +14=0\Rightarrow 14\lambda =-14\Rightarrow \lambda =-1$

$P(-1,-3,-2)$



La proyección de una recta sobre un plano es la intersección de este con el plano que contiene a la recta y es perpendicular al primero. Ese plano auxiliar lleva la dirección del eje y la del normal de $\pi$.

${\vec{n}}_{{\pi }^{\mathrm{\prime }}}={\vec{n}}_{\pi }\times {\vec{d}}_{OZ}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 3& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\mid =(3,-1,0)$

Como el eje $OZ$ pasa por el origen, el plano auxiliar también.

${\pi }^{\mathrm{\prime }}:3x-y=0$

$p\equiv \{\begin{array}{l}x+3y+2z+14=0\\ 3x-y=0\end{array}$



El director de la recta buscada ha de ser perpendicular al de $r$ y también al normal de $\pi$, para que la recta viva dentro del plano. Lo da el producto vectorial de ambos.

${\vec{v}}_r=(0,1,0);{\vec{v}}_t={\vec{v}}_r\times {\vec{n}}_{\pi }=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 0& 1& 0\\ 1& 3& 2\end{array}\mid =(2,0,-1)$

Como además tiene que cortar al eje $OZ$ y estar en $\pi$, pasa por el punto donde el eje atraviesa el plano.

$x=y=0\Rightarrow 2z+14=0\Rightarrow Q(0,0,-7)$

$t\equiv (2\lambda ,0,-7-\lambda ),\lambda \in \mathbb{R}$