Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

A.3. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Sean los puntos $A(1,-2,3)$, $B(0,2,-1)$ y $C(2,1,0)$. Se pide:

a) (1.25 puntos) Comprobar que forman un triángulo $T$ y hallar una ecuación del plano que los contiene.
b) (0.75 puntos) Calcular el corte de la recta que pasa por los puntos A y B con el plano $z=1$.
c) (0.5 puntos) Determinar el perímetro del triángulo $T$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Comprobar}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forman}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathit{T}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{hallar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{contiene.}}$

Tres puntos determinan un triángulo si no están alineados, es decir, si los vectores que van de uno a los otros dos no son proporcionales.

$\overrightarrow{AB}=(-1,4,-4),\overrightarrow{AC}=(1,3,-3)$

${\displaystyle \frac{-1}{1}}\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{4}{3}}\Rightarrow \text{no son proporcionales}$

Los tres puntos no están alineados, luego forman triángulo y determinan un único plano. Su vector normal es el producto vectorial de los dos vectores anteriores.

$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& 4& -4\\ 1& 3& -3\end{array}\mid =(0,-7,-7)$

Dividimos entre $-7$ y escribimos la ecuación por el punto $A$.

$\vec{n}=(0,1,1)\Rightarrow (y+2)+(z-3)=0\Rightarrow \pi :y+z-1=0$





Escribimos la recta en paramétricas con el punto $A$ y el director $\overrightarrow{AB}$, e imponemos la condición del plano.

$AB\equiv (1-t,-2+4t,3-4t)$

$3-4t=1\Rightarrow t={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$(1-{\displaystyle \frac{1}{2}},-2+2,1)=({\displaystyle \frac{1}{2}},0,1)$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{per}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{metro}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathit{T}\mathbf{\text{.}}$

El perímetro es la suma de los módulos de los tres lados.

$\mid \overrightarrow{AB}\mid =\sqrt{1+16+16}=\sqrt{33};\mid \overrightarrow{AC}\mid =\sqrt{1+9+9}=\sqrt{19}$

$\overrightarrow{BC}=(2,-1,1)\Rightarrow \mid \overrightarrow{BC}\mid =\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$

$P=\sqrt{33}+\sqrt{19}+\sqrt{6}=\mathrm{12,55}$

El perímetro del triángulo es de $\mathrm{12,55}$ unidades de longitud.