Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

B. 3. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Sean el plano $\pi \equiv x+x+y+z=1$, la recta $r_1\equiv \{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\ y=1-\lambda \\ z=-1\end{array},\lambda \in \mathbb{R}$ y el punto $P(0,1,0)$.

a) (0.5 puntos) Verifique que la recta $r_1$ está contenida en el plano $\pi$ y que el punto $P$ pertenece al mismo plano.
b) (0.75 puntos) Halle una ecuación de la recta contenida en el plano $\pi$ que pase por $P$ y sea perpendicular a $r_1$.
c) (1.25 puntos) Calcule una ecuación de la recta, $r_2$, que pase por $P$ y sea paralela a $r_1$. Halle el área de un cuadrado que tenga dos de sus lados sobre las rectas $r_1$ y $r_2$.

Sustituimos el punto genérico de la recta en la ecuación del plano y comprobamos que se cumple para todo valor del parámetro.

$(1+\lambda )+(1-\lambda )+(-1)=1$

Al desaparecer $\lambda$ y quedar una identidad, todos los puntos de $r_1$ están en $\pi$. Con el punto es inmediato.

$P(0,1,0):0+1+0=1$



La recta buscada es la intersección de $\pi$ con el plano que pasa por $P$ y tiene por normal el director de $r_1$: así se garantiza la perpendicularidad.

${\vec{v}}_{r_1}=(1,-1,0)\Rightarrow x-y=D$

$P(0,1,0)\Rightarrow 0-1=D\Rightarrow D=-1$

$s\equiv \{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ x-y=-1\end{array}$



Dos rectas paralelas comparten vector director, así que basta cambiar el punto.

$r_2\equiv (\lambda ,1-\lambda ,0),\lambda \in \mathbb{R}$

Si el cuadrado apoya dos lados opuestos en las dos rectas, su lado es la distancia entre ellas, que se mide desde $P$ hasta $r_1$. Usamos el plano del apartado anterior, que corta a $r_1$ justo en el pie de la perpendicular.



$(1+\lambda )-(1-\lambda )=-1\Rightarrow 2\lambda =-1\Rightarrow \lambda =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

$Q({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{3}{2}},-1)$

$d(P,r_1)=d(P,Q)=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+1^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}$

El área del cuadrado es el lado al cuadrado.

$\mathcal{A}={\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}\right)}^2={\displaystyle \frac{3}{2}}$

El área del cuadrado es de $\frac{3}{2}$ unidades de superficie.