Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

A. 3. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Con un dispositivo láser situado en el punto $P(1,1,1)$ se ha podido seguir la trayectoria de una partícula que se desplaza sobre la recta de ecuaciones $r\equiv \{\begin{array}{l}2x-y=10\\ x-z=-90\end{array}$.

a) (0.5 puntos) Calcule un vector director de $r$ y la posición de la partícula cuando su trayectoria incide con el plano $z=0$.
b) (1.25 puntos) Calcule la posición más próxima de la partícula al dispositivo láser.
c) (0.75 puntos) Determine el ángulo entre el plano de ecuación $x+y=2$ y la recta $r$.

La recta viene dada como intersección de dos planos, así que su director es perpendicular a los dos normales: lo da el producto vectorial.

${\vec{v}}_r=(2,-1,0)\times (1,0,-1)=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& -1& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\mid =(1,2,1)$

Para el punto de incidencia imponemos $z=0$ en las dos ecuaciones de la recta.

$x-0=-90\Rightarrow x=-90;2(-90)-y=10\Rightarrow y=-190$

La partícula incide en el plano $z=0$ en el punto $(-90,-190,0)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{pr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{dispositivo}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ser.}}$

La posición más próxima es el pie de la perpendicular trazada desde $P$ a la trayectoria. Lo hallamos cortando la recta con el plano que pasa por $P$ y es perpendicular a ella.

$\pi :x+2y+z+D=0;P(1,1,1)\in \pi \Rightarrow 1+2+1+D=0\Rightarrow D=-4$



Escribimos la recta en paramétricas desde el punto hallado en el apartado anterior y sustituimos.

$r\equiv (-90+t,-190+2t,t)$

$(-90+t)+2(-190+2t)+t-4=0\Rightarrow 6t-474=0\Rightarrow t=79$

$Q(-11,-32,79)$



El ángulo entre una recta y un plano se mide con su proyección sobre él, de modo que es el complementario del que forma el director con el vector normal. Por eso la fórmula lleva seno.

${\vec{n}}_{\pi }=(1,1,0);{\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=1+2+0=3$



$\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{\mid {\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }\mid }{\mid {\vec{v}}_r\mid \mid {\vec{n}}_{\pi }\mid }}={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{6}\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{12}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\alpha ={60}^{\circ }={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{ radianes}$