Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

A. 3. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Sean el plano $\pi \equiv z=xy$ los puntos $A(0,-1,0)$ y $B(0,1,0)$ pertenecientes al plano $\pi$.

a) (1.25 puntos) Si los puntos $A$ y $B$ son vértices contiguos de un cuadrado con vértices $\{A,B,C,D\}$ que se encuentra en el plano $\pi$, encuentre los posibles puntos $C$ y $D$.
b) (1.25 puntos) Si los puntos $A$ y $B$ son vértices opuestos de un cuadrado que se encuentra en el plano $\pi$, determine los otros dos vértices del mismo.

Los dos puntos dados están sobre el eje $OY$ y el lado $AB$ mide 2. Como el cuadrado vive en el plano $z=x$, todos sus puntos tienen la primera y la tercera coordenada iguales; y como $BC$ y $AD$ son paralelos entre sí y perpendiculares a $AB$, la segunda coordenada se conserva.

$C(a,1,a);D(a,-1,a)$



Imponemos que el lado mida lo mismo que $AB$.

$d(A,D)=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=2\Rightarrow a=\pm \sqrt{2}$

Hay, por tanto, dos cuadrados, uno a cada lado de la recta $AB$.

$C(\sqrt{2},1,\sqrt{2}),D(\sqrt{2},-1,\sqrt{2})\text{o}C(-\sqrt{2},1,-\sqrt{2}),D(-\sqrt{2},-1,-\sqrt{2})$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices}}\mathbf{\text{opuestos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cuadrado}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{otros}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{mismo.}}$

Ahora $AB$ es una diagonal. Las dos diagonales de un cuadrado se cortan en su punto medio, son perpendiculares y miden lo mismo, así que los otros dos vértices están sobre la recta que pasa por el origen, vive en $\pi$ y es perpendicular a $AB$.



$O(0,0,0);{\vec{v}}_{AB}=(0,1,0)$

Un director de esa recta ha de tener primera y tercera componentes iguales, por estar en $\pi$, y producto escalar nulo con $(0,1,0)$, lo que anula la segunda.

$\vec{v}=(1,0,1)\Rightarrow r\equiv (\lambda ,0,\lambda )$

La semidiagonal mide lo mismo que $d(O,A)=1$.

$\sqrt{2{\lambda }^2}=1\Rightarrow \lambda =\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

$C({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},0,{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}});D(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},0,-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})$