Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2022

B.3 (2 puntos). Una carga puntual positiva está situada en el punto $(3,4)\mathrm{m}$ del plano $xy$. En otro punto del plano se coloca una segunda carga puntual, también positiva y de magnitud el cuádruple de la primera, haciendo que el campo se anule en el origen de coordenadas.

a) Determine la posición de la segunda carga.

b) Si el potencial en el origen de coordenadas vale $\mathrm{1,08}\cdot {10}^4\mathrm{V}$, encuentre el valor de las cargas.

Dato: Constante de la ley de Coulomb, $K=9\cdot {10}^9\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{C}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{B.3}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{puntual}}\mathbf{\text{positiva}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{situada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}(3,4)\mathrm{m}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}xy\mathrm{.}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{otro}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{coloca}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{puntual,}}\mathbf{\text{tambi}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{positiva}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{magnitud}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{druple}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera,}}\mathbf{\text{haciendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{anule}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coordenadas.}}$

Antes de empezar conviene fijar la geometría. La primera carga $q_1>0$ está en el punto $P_1=(3,4)\mathrm{m}$, de modo que su distancia al origen es

$r_1=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\mathrm{m}\mathrm{.}$

El campo eléctrico creado por una carga puntual positiva es radial y se aleja de la carga. Por tanto, en el origen $O=(0,0)$ el campo de $q_1$, , apunta en la dirección de la recta $P_{1}O$ y en sentido que se aleja de $q_1$, es decir, hacia el tercer cuadrante.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{carga.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Para que el campo total en el origen se anule, los campos de las dos cargas en ese punto deben tener el mismo módulo y sentidos opuestos:

${\vec{E}}_1+{\vec{E}}_2=\vec{0}⟹{\vec{E}}_2=-{\vec{E}}_1\mathrm{.}$

La condición de sentidos opuestos obliga a que $q_2$ esté sobre la misma recta que une $q_1$ con el origen, pero al otro lado de $O$ (en el tercer cuadrante). Así, ${\vec{E}}_2$, que también se aleja de su carga positiva, apunta hacia el primer cuadrante, justo en sentido contrario a ${\vec{E}}_1$.

La condición de igualdad de módulos nos da la distancia $r_2$ de $q_2$ al origen. El módulo del campo de una carga puntual es $E={\displaystyle \frac{Kq}{r^2}}$, luego:

${\displaystyle \frac{K{q}_1}{r_1^2}}={\displaystyle \frac{K{q}_2}{r_2^2}}\mathrm{.}$

Como $q_2=4q_1$, simplificamos $K$ y $q_1$:

${\displaystyle \frac{1}{r_1^2}}={\displaystyle \frac{4}{r_2^2}}⟹r_2^2=4r_1^2⟹r_2=2r_1\mathrm{.}$

Sustituyendo:

$r_2=2\cdot 5\mathrm{m}=10\mathrm{m}\mathrm{.}$

La segunda carga está, pues, sobre la recta $P_{1}O$, en sentido opuesto a $P_1$ respecto del origen, y a distancia $10\mathrm{m}$ de él. El vector unitario que apunta del origen hacia $P_1$ es

$\widehat{u}={\displaystyle \frac{(3,4)}{5}}=({\displaystyle \frac{3}{5}},{\displaystyle \frac{4}{5}})\mathrm{.}$

La posición de $q_2$ se obtiene avanzando $10\mathrm{m}$ desde el origen en el sentido contrario, $-\widehat{u}$:

${\vec{r}}_2=-r_2\widehat{u}=-10({\displaystyle \frac{3}{5}},{\displaystyle \frac{4}{5}})=(-6,-8)\mathrm{m}\mathrm{.}$

Comprobamos que la distancia es la correcta: $\sqrt{(-6{)}^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\mathrm{m}$.

Por tanto, la segunda carga se sitúa en

$\boxed{{\displaystyle P_2=(-6,-8)\mathrm{m}}}$



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathbf{\text{vale}}\mathrm{1,08}\cdot {10}^4\mathrm{V},\mathbf{\text{encuentre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{cargas.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El potencial electrostático es una magnitud escalar, de modo que el potencial en el origen es la suma de los potenciales que crea cada carga (no intervienen direcciones ni sentidos):

$V_O=K{\displaystyle \frac{q_1}{r_1}}+K{\displaystyle \frac{q_2}{r_2}}\mathrm{.}$

Sustituimos $q_2=4q_1$, $r_1=5\mathrm{m}$ y $r_2=10\mathrm{m}$ y sacamos factor común:

$V_O=K{q}_1({\displaystyle \frac{1}{r_1}}+{\displaystyle \frac{4}{r_2}})=K{q}_1({\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{4}{10}})=K{q}_1(\mathrm{0,2}+\mathrm{0,4})=\mathrm{0,6}K{q}_1\mathrm{.}$

Despejando la primera carga:

$q_1={\displaystyle \frac{V_O}{\mathrm{0,6}K}}\mathrm{.}$

Sustituyendo los valores con sus unidades:

$q_1={\displaystyle \frac{\mathrm{1,08}\cdot {10}^4\mathrm{V}}{\mathrm{0,6}\cdot 9\cdot {10}^9\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{C}}^{-2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,08}\cdot {10}^4}{\mathrm{5,4}\cdot {10}^9}}\mathrm{C}=2\cdot {10}^{-6}\mathrm{C}\mathrm{.}$

Como $q_2=4q_1$:

$q_2=4\cdot 2\cdot {10}^{-6}\mathrm{C}=8\cdot {10}^{-6}\mathrm{C}\mathrm{.}$

Por tanto, los valores de las cargas son

$\boxed{{\displaystyle q_1=2\cdot {10}^{-6}\mathrm{C}=2\mu \mathrm{C}}}$

$\boxed{{\displaystyle q_2=8\cdot {10}^{-6}\mathrm{C}=8\mu \mathrm{C}}}$

Ambas resultan positivas, en coherencia con el enunciado, y la segunda es el cuádruple de la primera, como se exigía.