Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

En el punto $(1,0)\mathrm{m}$ del plano ($x,y$) se encuentra una partícula A de masa $m_A=2\mathrm{k}\mathrm{g}$. Se sabe que para llevar una partícula B de masa $m_B$ desde el origen de coordenadas al punto $(0,2)\mathrm{m}$ el trabajo realizado por la fuerza del campo gravitatorio creado por la masa $m_A$ es $-\mathrm{2,95}\cdot {10}^{-10}\mathrm{J}$.
a) ¿Cuál es el valor de la masa $m_B$?
b) Calcule el valor del campo gravitatorio que crea la masa $m_A$ en el punto $(0,2)\mathrm{m}$.
Dato: Constante de Gravitación Universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$.

El campo gravitatorio es conservativo, de modo que el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria al desplazar la masa B entre dos puntos solo depende de las posiciones inicial y final, y es igual a la disminución de la energía potencial gravitatoria:

$W_{i\to f}=-\mathrm{\Delta }{E}_p=-(E_{p,f}-E_{p,i})=E_{p,i}-E_{p,f}$

La energía potencial gravitatoria del sistema formado por las masas $m_A$ y $m_B$, separadas una distancia $r$, es:

$E_p=-{\displaystyle \frac{G{m}_A{m}_B}{r}}$

Necesitamos las distancias entre A y la posición de B en cada extremo del recorrido. La masa A está fija en $(1,0)\mathrm{m}$.

Distancia inicial (B en el origen $(0,0)$):

$r_i=\sqrt{(1-0{)}^2+(0-0{)}^2}=1\mathrm{m}$

Distancia final (B en $(0,2)\mathrm{m}$):

$r_f=\sqrt{(1-0{)}^2+(0-2{)}^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\mathrm{m}$



Sustituimos las energías potenciales inicial y final en la expresión del trabajo:

$W_{i\to f}=E_{p,i}-E_{p,f}=(-{\displaystyle \frac{G{m}_A{m}_B}{r_i}})-(-{\displaystyle \frac{G{m}_A{m}_B}{r_f}})$

$W_{i\to f}=G{m}_A{m}_B({\displaystyle \frac{1}{r_f}}-{\displaystyle \frac{1}{r_i}})$

Como $r_f>r_i$, la masa B se aleja de A; el término entre paréntesis es negativo y el trabajo de la fuerza atractiva resulta negativo, en coherencia con el dato del enunciado. Despejamos la masa $m_B$:

$m_B={\displaystyle \frac{W_{i\to f}}{G{m}_A({\displaystyle \frac{1}{r_f}}-{\displaystyle \frac{1}{r_i}})}}$

Sustituyendo los valores con sus unidades:

$m_B={\displaystyle \frac{-\mathrm{2,95}\cdot {10}^{-10}\mathrm{J}}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}\cdot 2\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot ({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}-{\displaystyle \frac{1}{1}}){\mathrm{m}}^{-1}}}$

El factor geométrico vale ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}-1=\mathrm{0,4472}-1=-\mathrm{0,5528}$. Operando:

$m_B={\displaystyle \frac{-\mathrm{2,95}\cdot {10}^{-10}}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 2\cdot (-\mathrm{0,5528})}}\mathrm{k}\mathrm{g}={\displaystyle \frac{-\mathrm{2,95}\cdot {10}^{-10}}{-\mathrm{7,374}\cdot {10}^{-11}}}\mathrm{k}\mathrm{g}\approx \mathrm{4,00}\mathrm{k}\mathrm{g}$

Por tanto,

$\boxed{{\displaystyle m_B\approx 4\mathrm{k}\mathrm{g}}}$



El campo gravitatorio creado por una masa puntual $m_A$ en un punto situado a una distancia $r$ es un vector dirigido desde el punto hacia la masa que lo crea (el campo gravitatorio es siempre atractivo), de módulo:

$\mathrm{\mid }\vec{g}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{G{m}_A}{r^2}}$

El punto considerado es $P=(0,2)\mathrm{m}$ y la masa A está en $(1,0)\mathrm{m}$, por lo que la distancia es $r=\sqrt{5}\mathrm{m}$ (calculada en el apartado anterior) y $r^2=5{\mathrm{m}}^2$. El módulo del campo es:

$\mathrm{\mid }\vec{g}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}\cdot 2\mathrm{k}\mathrm{g}}{5{\mathrm{m}}^2}}=\mathrm{2,668}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}\mathrm{/}\mathrm{k}\mathrm{g}$

Para obtener las componentes necesitamos el vector unitario que va desde $P$ hacia $A$ (sentido del campo). El vector de $P$ a $A$ es:

$\overrightarrow{PA}=(1-0)\vec{i}+(0-2)\vec{j}=\vec{i}-2\vec{j}(\mathrm{m})$

cuyo módulo es $\sqrt{5}\mathrm{m}$, de modo que el vector unitario es:

$\widehat{u}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{PA}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{PA}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}\vec{i}-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}\vec{j}$

Equivalentemente, llamando $\theta$ al ángulo que forma $\widehat{u}$ con el eje $x$, se tiene $\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}$ y $\mathrm{sen}\theta ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$. El campo gravitatorio en $P$ es:

$\vec{g}=\mathrm{\mid }\vec{g}\mathrm{\mid }\widehat{u}={\displaystyle \frac{G{m}_A}{r^2}}({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}\vec{i}-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}\vec{j})$

Sustituyendo los valores:

$\vec{g}=\mathrm{2,668}\cdot {10}^{-11}(\mathrm{0,4472}\vec{i}-\mathrm{0,8944}\vec{j})\mathrm{N}\mathrm{/}\mathrm{k}\mathrm{g}$

$\vec{g}=(\mathrm{1,19}\cdot {10}^{-11}\vec{i}-\mathrm{2,39}\cdot {10}^{-11}\vec{j})\mathrm{N}\mathrm{/}\mathrm{k}\mathrm{g}$

El campo apunta en el sentido de las $x$ crecientes y de las $y$ decrecientes, es decir, hacia la masa A, como corresponde a un campo atractivo. Por tanto,

$\boxed{{\displaystyle \vec{g}(0,2)=(\mathrm{1,19}\cdot {10}^{-11}\vec{i}-\mathrm{2,39}\cdot {10}^{-11}\vec{j})\mathrm{N}\mathrm{/}\mathrm{k}\mathrm{g},\mathrm{\mid }\vec{g}\mathrm{\mid }=\mathrm{2,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}\mathrm{/}\mathrm{k}\mathrm{g}}}$