Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

A.1 (2 puntos). Una partícula de masa $20\mathrm{k}\mathrm{g}$ permanece fija en el origen de coordenadas.

a) Calcule el campo gravitatorio generado por la masa en el punto $(8,6)\mathrm{m}$ y la fuerza que experimentará una segunda partícula de masa $3\mathrm{k}\mathrm{g}$ situada en dicho punto.

b) Con el objetivo de alejar la segunda partícula, se le transmite una velocidad de $\mathrm{1,2}\cdot {10}^5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ en la dirección de la recta que une ambas partículas. Halle el punto más alejado del origen que alcanzará dicha partícula.

Datos: Constante de Gravitación Universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$.

El campo gravitatorio creado por una masa puntual $M$ es un vector dirigido siempre hacia la masa que lo origina (es un campo atractivo). Su expresión es:

$\vec{g}=-{\displaystyle \frac{GM}{r^2}}{\widehat{u}}_r$

donde $r$ es la distancia desde la masa al punto y ${\widehat{u}}_r$ el vector unitario que va de la masa al punto. El signo menos indica que $\vec{g}$ apunta en sentido contrario a ${\widehat{u}}_r$, es decir, hacia el origen.

Calculamos primero la distancia del origen al punto $(8,6)\mathrm{m}$:

$r=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\mathrm{m}$

El vector unitario que une el origen con el punto se obtiene dividiendo el vector de posición por su módulo:

${\widehat{u}}_r={\displaystyle \frac{(8,6)}{10}}={\displaystyle \frac{8}{10}}\vec{i}+{\displaystyle \frac{6}{10}}\vec{j}=\mathrm{0,8}\vec{i}+\mathrm{0,6}\vec{j}$

Hallamos el módulo del campo. Aplicamos la expresión del campo y sustituimos los valores con sus unidades:

$\mathrm{\mid }\vec{g}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{GM}{r^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}\cdot 20\mathrm{k}\mathrm{g}}{(10\mathrm{m}{)}^2}}=\mathrm{1,334}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$

Por tanto, el campo gravitatorio en el punto, expresado en componentes, es:

$\vec{g}=-\mathrm{\mid }\vec{g}\mathrm{\mid }{\widehat{u}}_r=-\mathrm{1,334}\cdot {10}^{-11}(\mathrm{0,8}\vec{i}+\mathrm{0,6}\vec{j})$

$\boxed{{\displaystyle \vec{g}=(-\mathrm{1,07}\cdot {10}^{-11}\vec{i}-\mathrm{8,00}\cdot {10}^{-12}\vec{j})\mathrm{N}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}}}$

de módulo $\mathrm{\mid }\vec{g}\mathrm{\mid }=\mathrm{1,33}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$.

La fuerza que experimenta la segunda partícula de masa $m=3\mathrm{k}\mathrm{g}$ colocada en ese punto se obtiene multiplicando su masa por el campo en ese punto:

$\vec{F}=m\vec{g}$

Sustituyendo los valores:

$\vec{F}=3\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot (-\mathrm{1,07}\cdot {10}^{-11}\vec{i}-\mathrm{8,00}\cdot {10}^{-12}\vec{j})\mathrm{N}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$

$\boxed{{\displaystyle \vec{F}=(-\mathrm{3,21}\cdot {10}^{-11}\vec{i}-\mathrm{2,40}\cdot {10}^{-11}\vec{j})\mathrm{N}}}$

cuyo módulo es $\mathrm{\mid }\vec{F}\mathrm{\mid }=m\mathrm{\mid }\vec{g}\mathrm{\mid }=\mathrm{4,00}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}$. La fuerza es atractiva y apunta del punto $(8,6)$ hacia el origen, como cabía esperar de la gravitación.



La fuerza gravitatoria es conservativa, de modo que la energía mecánica de la partícula (cinética más potencial gravitatoria) se conserva a lo largo de su movimiento. Aplicamos la conservación de la energía entre el punto de partida (distancia $r_0=10\mathrm{m}$, con velocidad $v_0$) y el punto más alejado (distancia $r_{\max }$, donde la partícula se detiene un instante antes de volver, $v=0$):

$E_0=E_{\max }$

$-{\displaystyle \frac{GMm}{r_0}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_0^2=-{\displaystyle \frac{GMm}{r_{\max }}}$

Calculamos la energía mecánica inicial, que se conserva. La energía potencial en el punto de partida es:

$E_{p,0}=-{\displaystyle \frac{GMm}{r_0}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 20\cdot 3}{10}}=-\mathrm{4,002}\cdot {10}^{-10}\mathrm{J}$

La energía cinética inicial es:

$E_{c,0}={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_0^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 3\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {(\mathrm{1,2}\cdot {10}^{-5}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1})}^2=\mathrm{2,160}\cdot {10}^{-10}\mathrm{J}$

Sumando, la energía mecánica total vale:

$E=E_{p,0}+E_{c,0}=-\mathrm{4,002}\cdot {10}^{-10}+\mathrm{2,160}\cdot {10}^{-10}=-\mathrm{1,842}\cdot {10}^{-10}\mathrm{J}$

Como $E<0$, la partícula está ligada al campo: no escapa al infinito, sino que alcanza una distancia máxima finita y regresa. En el punto más alejado toda la energía es potencial, de modo que:

$E=-{\displaystyle \frac{GMm}{r_{\max }}}$

Despejando $r_{\max }$:

$r_{\max }=-{\displaystyle \frac{GMm}{E}}$

Sustituyendo los valores:

$r_{\max }=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 20\cdot 3}{-\mathrm{1,842}\cdot {10}^{-10}}}=\mathrm{21,73}\mathrm{m}$

$\boxed{{\displaystyle r_{\max }=\mathrm{21,73}\mathrm{m}}}$

Como la partícula se mueve a lo largo de la recta que une ambas masas (la misma dirección del vector unitario ${\widehat{u}}_r=\mathrm{0,8}\vec{i}+\mathrm{0,6}\vec{j}$), el punto más alejado tiene por coordenadas:

$(x_{\max },y_{\max })=r_{\max }{\widehat{u}}_r=\mathrm{21,73}(\mathrm{0,8};\mathrm{0,6})$

$\boxed{{\displaystyle (x_{\max },y_{\max })=(\mathrm{17,38};\mathrm{13,04})\mathrm{m}}}$