Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

B.1 (2 puntos). Marte posee la décima parte de la masa de la Tierra y la mitad de su diámetro.

a) Encuentre la relación entre las velocidades de escape de Marte y de la Tierra desde sus respectivas superficies.

b) Suponga que un objeto se lanza verticalmente desde la superficie terrestre, con una velocidad igual a la velocidad de escape de Marte. Si se desprecia el rozamiento, ¿qué altura máxima alcanzaría el objeto?

Dato: Radio de la Tierra, $R_T=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\mathrm{m}$.

$\mathbf{\text{B.1}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{Marte}}\mathbf{\text{posee}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cima}}\mathbf{\text{parte}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mitad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{di}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro.}}$

Llamemos $M_T$ y $R_T$ a la masa y el radio de la Tierra, y $M_M$ y $R_M$ a los de Marte. Según el enunciado, la masa de Marte es la décima parte de la terrestre y su diámetro la mitad (luego también su radio es la mitad):

$M_M={\displaystyle \frac{M_T}{10}}\text{y}{R}_M={\displaystyle \frac{R_T}{2}}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{relaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{velocidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Marte}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{respectivas}}\mathbf{\text{superficies.}}$

La velocidad de escape es la velocidad mínima con la que hay que lanzar un cuerpo desde la superficie de un astro para que escape de su atracción gravitatoria, es decir, para que llegue al infinito $(r\to \mathrm{\infty })$ con velocidad nula. La obtenemos aplicando el principio de conservación de la energía mecánica entre la superficie y el infinito, donde tanto la energía cinética como la potencial son nulas:

$E_{\text{superficie}}=E_{\mathrm{\infty }}⟹{\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_e^2-{\displaystyle \frac{GMm}{R}}=0$

Despejando, la masa $m$ del objeto se cancela y queda una expresión que solo depende del astro:

$v_e=\sqrt{{\displaystyle \frac{2GM}{R}}}$

Escribimos esta fórmula para cada planeta y formamos el cociente. Como la constante $G$ y el factor $2$ son comunes, se simplifican:

${\displaystyle \frac{v_{e,M}}{v_{e,T}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{{\displaystyle \frac{2G{M}_M}{R_M}}}}{\sqrt{{\displaystyle \frac{2G{M}_T}{R_T}}}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{M_M}{M_T}}\cdot {\displaystyle \frac{R_T}{R_M}}}$

Sustituyendo las relaciones entre masas y radios, ${\displaystyle \frac{M_M}{M_T}}={\displaystyle \frac{1}{10}}$ y ${\displaystyle \frac{R_T}{R_M}}=2$:

${\displaystyle \frac{v_{e,M}}{v_{e,T}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{10}}\cdot 2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{10}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{5}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}$

Por tanto, la velocidad de escape de Marte es $\sqrt{1\mathrm{/}5}\approx \mathrm{0,447}$ veces la de la Tierra (algo menos de la mitad):

$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{v_{e,M}}{v_{e,T}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}\approx \mathrm{0,447}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Suponga}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{lanza}}\mathbf{\text{verticalmente}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{terrestre,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Marte.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{desprecia}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rozamiento,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{alcanzar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{objeto?}}$

El objeto se lanza desde la superficie de la Tierra con una rapidez igual a la velocidad de escape de Marte, $v_0=v_{e,M}$. Expresamos esta velocidad en función de las magnitudes terrestres usando las relaciones anteriores $(M_M=M_T\mathrm{/}10,R_M=R_T\mathrm{/}2)$:

$v_0^2=v_{e,M}^2={\displaystyle \frac{2G{M}_M}{R_M}}={\displaystyle \frac{2G{\displaystyle \frac{M_T}{10}}}{{\displaystyle \frac{R_T}{2}}}}={\displaystyle \frac{4}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{G{M}_T}{R_T}}={\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{G{M}_T}{R_T}}$

Como se desprecia el rozamiento, la energía mecánica se conserva. En el punto de altura máxima el objeto se detiene instantáneamente $(v=0)$, de modo que toda su energía es potencial. Igualamos la energía mecánica en la superficie $(r=R_T)$ con la del punto más alto $(r=r_{\max })$, midiendo las distancias desde el centro de la Tierra:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_0^2-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{R_T}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r_{\max }}}$

La masa $m$ se cancela en todos los términos. Sustituimos $v_0^2={\displaystyle \frac{2}{5}}{\displaystyle \frac{G{M}_T}{R_T}}$ en el término cinético:

${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{G{M}_T}{R_T}}-{\displaystyle \frac{G{M}_T}{R_T}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r_{\max }}}$

El factor común $G{M}_T$ también se simplifica:

${\displaystyle \frac{1}{5R_T}}-{\displaystyle \frac{1}{R_T}}=-{\displaystyle \frac{1}{r_{\max }}}$

Operamos el primer miembro:

${\displaystyle \frac{1}{5R_T}}-{\displaystyle \frac{5}{5R_T}}=-{\displaystyle \frac{4}{5R_T}}=-{\displaystyle \frac{1}{r_{\max }}}$

Despejando $r_{\max }$ (la distancia máxima al centro de la Tierra):

$r_{\max }={\displaystyle \frac{5}{4}}{R}_T$

La altura máxima sobre la superficie es la diferencia entre esa distancia y el radio terrestre:

$h_{\max }=r_{\max }-R_T={\displaystyle \frac{5}{4}}{R}_T-R_T={\displaystyle \frac{1}{4}}{R}_T$

Sustituyendo el dato $R_T=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\mathrm{m}$:

$h_{\max }={\displaystyle \frac{\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\mathrm{m}}{4}}=\mathrm{1,5925}\cdot {10}^6\mathrm{m}$

Por tanto, el objeto se elevaría aproximadamente:

$\boxed{{\displaystyle h_{\max }={\displaystyle \frac{R_T}{4}}\approx \mathrm{1,59}\cdot {10}^6\mathrm{m}=\mathrm{1592,5}\mathrm{k}\mathrm{m}}}$

Conviene notar que, aunque la velocidad inicial coincide con la velocidad de escape de Marte, NO basta para escapar de la Tierra (que es mucho más masiva): por eso el objeto alcanza una altura finita y vuelve a caer. Además, dado que esta altura es comparable al radio terrestre, no sería correcto usar la aproximación de campo uniforme $(E_p=mgh)$; ha sido imprescindible emplear la energía potencial gravitatoria completa $(E_p=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r}})$.