Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

El satélite $Sentinel\text{-}1$, que forma parte del programa Copernicus, ha suministrado imágenes muy útiles para el estudio de la erupción del volcán de La Palma en 2021. $Sentinel\text{-}1$ tiene una masa de $2300\mathrm{k}\mathrm{g}$ y se encuentra en una órbita circular a $700\mathrm{k}\mathrm{m}$ sobre la superficie terrestre.
a) Deduzca la expresión que relaciona el periodo del satélite, $T$, con el radio de su órbita, $r$, la constante de Gravitación Universal, $G$, y la masa de la Tierra, $M_T$. Calcule el tiempo que tarda $Sentinel\text{-}1$ en dar una vuelta completa en su órbita.
b) Deduzca la expresión de la energía mecánica total de un satélite en órbita circular de radio $r$, expresándola en función de $G$, $M_T$ y $r$. Obtenga la energía mecánica total del satélite $Sentinel\text{-}1$.
Datos: Constante de Gravitación Universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$; Masa de la Tierra, $M_T=\mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\mathrm{k}\mathrm{g}$; Radio de la Tierra, $R_T=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\mathrm{m}$.

La fuerza que mantiene al satélite en su órbita circular es la atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre él. Esa fuerza actúa como fuerza centrípeta, ya que apunta hacia el centro de la órbita (el centro de la Tierra) y obliga al satélite a describir una circunferencia. Igualamos por tanto el módulo de la fuerza gravitatoria con el de la fuerza centrípeta:

${\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r^2}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$

La masa del satélite $m$ se simplifica, lo que confirma que el movimiento orbital no depende de ella. Despejando la rapidez orbital:

$v^2={\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}$

Como el movimiento es circular y uniforme, el satélite recorre la longitud de la circunferencia $2\pi r$ en un tiempo igual al periodo $T$, de modo que su rapidez es:

$v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}$

Sustituimos esta expresión de $v$ en la relación anterior:

${\left({\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}\right)}^2={\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}$

${\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^2}{T^2}}={\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}$

Despejando $T^2$ obtenemos la tercera ley de Kepler en su forma dinámica:

$\boxed{{\displaystyle T^2={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{G{M}_T}}{r}^3}}$

que muestra que el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del radio orbital.

Para calcular el periodo necesitamos el radio de la órbita, que se mide desde el centro de la Tierra. Por tanto sumamos el radio terrestre y la altura del satélite:

$r=R_T+h=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\mathrm{m}+700\cdot {10}^3\mathrm{m}=\mathrm{7,07}\cdot {10}^6\mathrm{m}$

Sustituyendo los valores en la expresión del periodo:

$T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{r^3}{G{M}_T}}}=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{{(\mathrm{7,07}\cdot {10}^6\mathrm{m})}^3}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\mathrm{k}\mathrm{g}}}}$

Operando dentro de la raíz y multiplicando por $2\pi$:

$\boxed{{\displaystyle T\approx \mathrm{5919,14}\mathrm{s}\approx \mathrm{1,64}\mathrm{h}}}$

Es decir, Sentinel-1 completa una vuelta a la Tierra en algo menos de una hora y cuarenta minutos.



La energía mecánica total es la suma de la energía cinética y la energía potencial gravitatoria:

$E_m=E_c+E_p={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r}}$

El signo negativo de la energía potencial se debe a que se toma su origen en el infinito $(E_p\to 0$ cuando $r\to \mathrm{\infty })$, de modo que un cuerpo ligado a la Tierra tiene energía potencial negativa.

Para escribir la energía cinética en función de $r$ usamos la condición de órbita circular deducida en el apartado anterior, $v^2={\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}$:

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}m\cdot {\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}={\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}$

Sustituyendo en la energía mecánica:

$E_m={\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r}}$

Sacando factor común ${\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r}}$:

$\boxed{{\displaystyle E_m=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}}}$

Observamos que la energía mecánica es negativa, lo que es característico de un sistema ligado (el satélite no puede escapar de la Tierra), y que en módulo coincide con la energía cinética. Sustituyendo los valores:

$E_m=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 2300\mathrm{k}\mathrm{g}}{2\cdot \mathrm{7,07}\cdot {10}^6\mathrm{m}}}$

Operando:

$\boxed{{\displaystyle E_m\approx -\mathrm{6,48}\cdot {10}^{10}\mathrm{J}}}$

El valor negativo confirma que, para sacar a Sentinel-1 de su órbita y enviarlo al infinito, habría que aportarle una energía de al menos $\mathrm{6,48}\cdot {10}^{10}\mathrm{J}$.