Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Ejercicio B1
Se sabe que $\begin{vmatrix} a & b & c\\ p & q & r\\ x & y & z\end{vmatrix}=2$. Calcula, explicando las propiedades aplicadas,

(a) (1,5 p) $\begin{vmatrix} 3a & 3b & 3c\\ a-p & b-q & c-r\\ 2x-a & 2y-b & 2z-c\end{vmatrix}$.
(b) (1 p) $\begin{vmatrix} a & x & 2p\\ b & y & 2q\\ c & z & 2r\end{vmatrix}$.

Llamamos $D$ al determinante dado y $F_1$, $F_2$, $F_3$ a sus filas, de modo que $D=2$. Los dos apartados se resuelven aplicando propiedades de los determinantes, sin desarrollar ninguno.

$\textbf{(a) (1,5 p) Calcula, explicando las propiedades aplicadas, } \boldsymbol{\begin{vmatrix}3a&3b&3c\\a-p&b-q&c-r\\2x-a&2y-b&2z-c\end{vmatrix}}$

Si a una fila se le suma un múltiplo de otra, el determinante no cambia. Sumamos la primera fila a la tercera y restamos la primera de la segunda, con lo que ambas se simplifican:

$\begin{vmatrix}a&b&c\\a-p&b-q&c-r\\2x-a&2y-b&2z-c\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b&c\\-p&-q&-r\\2x&2y&2z\end{vmatrix}$

Si se multiplican todos los elementos de una fila por una constante, el determinante queda multiplicado por ella. Sacamos el $-1$ de la segunda fila y el $2$ de la tercera:

$\begin{vmatrix}a&b&c\\-p&-q&-r\\2x&2y&2z\end{vmatrix}=(-1)\cdot2\cdot\begin{vmatrix}a&b&c\\p&q&r\\x&y&z\end{vmatrix}=-2D=-4$

Falta aplicar esa misma propiedad al $3$ de la primera fila del determinante pedido:

$\begin{vmatrix}3a&3b&3c\\a-p&b-q&c-r\\2x-a&2y-b&2z-c\end{vmatrix}=3\cdot(-4)=-12$

$\textbf{(b) (1 p) Calcula, explicando las propiedades aplicadas, } \boldsymbol{\begin{vmatrix}a&x&2p\\b&y&2q\\c&z&2r\end{vmatrix}}$

Una matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante, de modo que podemos leer el dato del enunciado por columnas:

$\begin{vmatrix}a&p&x\\b&q&y\\c&r&z\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b&c\\p&q&r\\x&y&z\end{vmatrix}=D=2$

Si se intercambian dos columnas, el determinante cambia de signo. Intercambiando la segunda y la tercera:

$\begin{vmatrix}a&x&p\\b&y&q\\c&z&r\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}a&p&x\\b&q&y\\c&r&z\end{vmatrix}=-2$

Por último, sacamos el $2$ que multiplica a toda la tercera columna:

$\begin{vmatrix}a&x&2p\\b&y&2q\\c&z&2r\end{vmatrix}=2\cdot(-2)=-4$