Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Problema 4.

Sea $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La justificación de que $A$ tiene inversa y el cálculo de dicha matriz inversa. (3 puntos)
b) Dos constantes $a, b$ de modo que $A^{-1} = A^2 + aA + bI$. Se puede usar (sin comprobarlo) que $A$ verifica la ecuación $A^3 - 3A^2 + 3A - I = 0$ siendo $I$ la matriz identidad. (3 puntos)
c) El valor de $\lambda$ para el que el sistema de ecuaciones $(A - \lambda I) \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ tenga infinitas soluciones. Para dicho valor de $\lambda$ hallar todas las soluciones del sistema. (2+2 puntos)

$\textbf{Problema 4. Sea } \boldsymbol{A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}}\textbf{.}$
$\textbf{Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:}$
$\textbf{a) La justificación de que } \boldsymbol{A}\textbf{ tiene inversa y el cálculo de dicha inversa. (3 puntos)}$

$\exists A^{-1} \iff |A|\neq 0$

$|A|=\begin{vmatrix}1&2&0\\0&1&0\\0&2&1\end{vmatrix}=1\neq0;\Rightarrow \exists A^{-1}$

Calculamos la inversa:
$A^{-1}= \frac{\operatorname{Adj}(A^{T})}{|A|} \frac{ \operatorname{Adj} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} }{1}$=$\begin{pmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{vmatrix} & - \begin{vmatrix} 2 & 2\\ 0 & 1 \end{vmatrix} & + \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 0 & 0 \end{vmatrix}\\\\ - \begin{vmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{vmatrix} & + \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{vmatrix} & - \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{vmatrix}\\\\ + \begin{vmatrix} 0 & 0\\ 1 & 2 \end{vmatrix} & - \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 2 & 2 \end{vmatrix} & + \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{vmatrix} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

$\textbf{b) } A^{-1}=A^2+aA+bI ; \text{sabiendo que } A^3-3A^2+3A-I=0$

Partimos de: $A^{-1}=A^2+aA+bI$

Multiplicamos por ($A$) por la izquierda: $AA^{-1}=A^3+aA^2+bA$

Como $AA^{-1}=I$: $I=A^3+aA^2+bA$

Lo comparamos con: $A^3-3A^2+3A-I=0\Rightarrow A^3-3A^2+3A=I$

Por identificación de coeficientes:

$a=-3, \qquad b=3$

$\boxed{a=-3; b=3}$

$\textbf{c) El valor de } \boldsymbol{\lambda}\textbf{ para que el sistema de ecuaciones } \boldsymbol{(A - \lambda I)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}\textbf{ tenga infinitas soluciones. Para dicho valor de } \boldsymbol{\lambda}\textbf{ hallar todas las soluciones del sistema. (2+2 puntos)}$
El valor de $\lambda$ para que el sistema de ecuaciones

$(A-\lambda I)\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ tenga infinitas soluciones.

Calculamos $A-\lambda I$.

$A-\lambda I=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&0\\0&2&1\end{pmatrix}-\lambda\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-\lambda&2&0\\0&1-\lambda&0\\0&2&1-\lambda\end{pmatrix}=B$

Para que el sistema indicado, que es homogéneo, tenga infinitas soluciones debe ser $|B|=0$.

$|B|=\begin{vmatrix}1-\lambda&2&0\\0&1-\lambda&0\\0&2&1-\lambda\end{vmatrix}=(1-\lambda)^3$

$(1-\lambda)^3=0\Rightarrow1-\lambda=0\Rightarrow \lambda=1$

Para $\lambda=1$, el sistema a resolver es:

$\begin{pmatrix}0&2&0\\0&0&0\\0&2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$

$\begin{cases}2y=0\\2y=0\end{cases}\Rightarrow y=0$

Solución del sistema: $\begin{cases}x=\alpha\\y=0\\z=\beta\end{cases}\quad \alpha,\beta\in\mathbb{R}$