Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Cuestión 1B.

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden 3 que cumple que $A^2 = O$, donde $O$ es la matriz nula de orden 3 (todos sus elementos son cero).

a) [0,75] Demuestre que $(A+I)^2 = 2A + I$, y que $(A+I)^3 = 3A + I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.
b) [0,75] Demuestre que la matriz $I - A$ es inversa de la matriz $I + A$.
c) [1] Resuelva la ecuación matricial $X + AX = A$ expresando $X$ en función de $A$.

Partimos de que $A$ es cuadrada de orden 3 con $A^{2}=O$, y de que la identidad conmuta con cualquier matriz: $AI=IA=A$ y $I^{2}=I$.

$\textbf{a) [0,75] Demuestre que } \boldsymbol{(A+I)^2 = 2A + I}\textbf{, y que } \boldsymbol{(A+I)^3 = 3A + I}\textbf{, donde } \boldsymbol{I}\textbf{ es la matriz identidad de orden 3.}$

Desarrollamos el cuadrado como producto de los dos factores, sin suponer conmutatividad salvo con $I$.

$(A+I)^{2}=A^{2}+AI+IA+I^{2}=O+A+A+I=2A+I$

Para el cubo multiplicamos el resultado anterior por $(A+I)$ y volvemos a usar la hipótesis.

$(A+I)^{3}=(2A+I)(A+I)=2A^{2}+2A+A+I$

$(A+I)^{3}=2O+3A+I=3A+I$

Quedan demostradas las dos igualdades.

$\textbf{b) [0,75] Demuestre que la matriz } \boldsymbol{I - A}\textbf{ es inversa de la matriz } \boldsymbol{I + A}\textbf{.}$

Por definición hay que comprobar que el producto de las dos matrices da la identidad en los dos órdenes, porque el producto de matrices no es conmutativo.

$(I+A)(I-A)=I^{2}-IA+AI-A^{2}=I-A+A-O=I$

$(I-A)(I+A)=I^{2}+IA-AI-A^{2}=I+A-A-O=I$

Al obtenerse la identidad en ambos casos, $I+A$ es invertible y su inversa es $(I+A)^{-1}=I-A$.

$\textbf{c) [1] Resuelva la ecuación matricial } \boldsymbol{X + AX = A}\textbf{ expresando } \boldsymbol{X}\textbf{ en función de } \boldsymbol{A}\textbf{.}$

Sacamos factor común $X$ por la derecha, escribiendo $X=IX$.

$X+AX=IX+AX=(I+A)X=A$

Por el apartado anterior sabemos que $I+A$ es invertible, así que multiplicamos por su inversa por la izquierda.

$X=(I+A)^{-1}A=(I-A)A=A-A^{2}=A-O=A$

Comprobamos en la ecuación de partida: $X+AX=A+A^{2}=A+O=A$.

La solución de la ecuación matricial es $X=A$.