Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Cuestión 2.

Se dice que una matriz cuadrada $A$ de orden 2 es una matriz de Hadamard si está formada solo por 1's y -1's y cumple que $A \cdot A^t = 2I$, donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$ e $I$ denota la matriz identidad de orden 2.

a) [1] Determine cuál de las siguientes matrices es de Hadamard:
$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$
b) [0,75] Si $A$ es una matriz de Hadamard cualquiera de orden 2, calcule razonadamente su determinante.
c) [0,75] Justifique que toda matriz $A$ de Hadamard de orden 2 es regular (o invertible) y obtenga una expresión para su inversa en términos de $A^t$.

$\textbf{a) [1] Determine cuál de las siguientes matrices es de Hadamard.}$

Las dos matrices están formadas solo por unos y menos unos, así que lo único que falta comprobar es la condición $A\cdot A^{t}=2I$.

$A=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix},\qquad A^{t}=\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}$

$A\cdot A^{t}=\begin{pmatrix}1+1&-1+1\\-1+1&1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=2I$

$B=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix},\qquad B^{t}=\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}$

$B\cdot B^{t}=\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}\neq2I$

La primera matriz sí es de Hadamard; la segunda no, porque los elementos de fuera de la diagonal no se anulan.

$\textbf{b) [0,75] Si } \boldsymbol{A}\textbf{ es una matriz de Hadamard cualquiera de orden 2, calcule razonadamente su determinante.}$

Tomamos determinantes en la condición que define a estas matrices, usando que el determinante de un producto es el producto de los determinantes.

$\det(A\cdot A^{t})=\det(2I)\ \Rightarrow\ \det(A)\cdot\det(A^{t})=\det(2I)$

Una matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante, y para orden dos $\det(2I)=2^{2}=4$:

$\left[\det(A)\right]^{2}=4$

$\det(A)=\pm2$

El determinante de cualquier matriz de Hadamard de orden dos vale $2$ o $-2$.

$\textbf{c) [0,75] Justifique que toda matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ de Hadamard de orden 2 es regular (o invertible) y obtenga una expresión para su inversa en términos de } \boldsymbol{A^t}\textbf{.}$

Por el apartado anterior el determinante vale $\pm2$, en ningún caso cero, y una matriz cuadrada es regular exactamente cuando su determinante no se anula. Por tanto toda matriz de Hadamard de orden dos es invertible.

Para obtener la inversa basta dividir entre dos la condición de partida:

$A\cdot A^{t}=2I\ \Rightarrow\ A\cdot\left(\dfrac{1}{2}A^{t}\right)=I$

La matriz que multiplicada por $A$ da la identidad es su inversa, luego $A^{-1}=\dfrac{1}{2}A^{t}$.