Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Cuestión 2.

Una matriz cuadrada $A$ de orden 2 es una matriz ortogonal si cumple que $A \cdot A^t = I$, donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$ e $I$ denota la matriz identidad de orden 2.

a) [1] Estudie si las siguientes matrices son ortogonales o no:
$\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \\[2mm] -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad \begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \\[2mm] -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$
b) [0,75] Si $A$ es una matriz ortogonal cualquiera de orden 2, calcule razonadamente su determinante.
c) [0,75] Justifique que si $A$ y $B$ son dos matrices ortogonales cualesquiera de orden 2, entonces el producto $C = A \cdot B$ también lo es.

$\textbf{a) [1] Estudie si las siguientes matrices son ortogonales o no.}$

Basta comprobar en cada caso si el producto de la matriz por su traspuesta da la identidad.

$A=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt3}{2}&\dfrac12\\[2mm]-\dfrac12&\dfrac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix},\qquad A^{t}=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt3}{2}&-\dfrac12\\[2mm]\dfrac12&\dfrac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix}$

$A\cdot A^{t}=\begin{pmatrix}\dfrac34+\dfrac14&-\dfrac{\sqrt3}{4}+\dfrac{\sqrt3}{4}\\[2mm]-\dfrac{\sqrt3}{4}+\dfrac{\sqrt3}{4}&\dfrac14+\dfrac34\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I$

En la segunda matriz basta con un elemento de fuera de la diagonal para descartarla:

$B=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt3}{2}&\dfrac12\\[2mm]-\dfrac12&-\dfrac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix}\ \Rightarrow\ c_{12}=-\dfrac{\sqrt3}{4}-\dfrac{\sqrt3}{4}=-\dfrac{\sqrt3}{2}\neq0$

La primera matriz sí es ortogonal; la segunda no lo es.

$\textbf{b) [0,75] Si } \boldsymbol{A}\textbf{ es una matriz ortogonal cualquiera de orden 2, calcule razonadamente su determinante.}$

Tomamos determinantes en la definición y usamos que el determinante de un producto es el producto de los determinantes y que una matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante.

$\det(A)\cdot\det(A^{t})=\det(I)=1$

$\left[\det(A)\right]^{2}=1\ \Rightarrow\ \det(A)=\pm1$

El determinante de una matriz ortogonal de orden dos vale $1$ o $-1$.

$\textbf{c) [0,75] Justifique que si } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ son dos matrices ortogonales cualesquiera de orden 2, entonces el producto } \boldsymbol{C = A \cdot B}\textbf{ también lo es.}$

Hay que probar que $C\cdot C^{t}=I$. Usamos que la traspuesta de un producto invierte el orden de los factores.

$C^{t}=(A\cdot B)^{t}=B^{t}\cdot A^{t}$

$C\cdot C^{t}=(A\cdot B)(B^{t}\cdot A^{t})=A\,(B\cdot B^{t})\,A^{t}$

Aplicamos que $B$ es ortogonal y después que lo es $A$:

$C\cdot C^{t}=A\cdot I\cdot A^{t}=A\cdot A^{t}=I$

Queda probado que el producto de dos matrices ortogonales de orden dos vuelve a ser una matriz ortogonal.