Matemáticas II · Matrices · Comunidad Valenciana · 2021

Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Problema 4.

Se dan las matrices A=[123−1a11a2−23] y B=[−112][1 2 3] A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & a & 1 \\ 1 & a^2 - 2 & 3 \end{bmatrix} \ y \ B = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} [1 \ 2 \ 3] . Obtened

a) El rango de la matriz A según los valores del parámetro a a . (3 puntos)
b) Una matriz C C tal que AC=16I AC = 16I , siendo I I la matriz identidad, cuando a=0 a = 0 . (4 puntos)
c) El rango de la matriz B B y la discusión de si el sistema B[xyz]=[1−12] B \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} tiene solución. (3 puntos)

Solución

Problema 4. Se dan las matrices A=(123−1a11a2−23) y B=(1−12)[ 1  2  3 ]. Obtened:\textbf{Problema 4. Se dan las matrices } \boldsymbol{A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & a & 1 \\ 1 & a^2 - 2 & 3 \end{pmatrix}}\textbf{ y } \boldsymbol{B = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}[\,1\ \ 2\ \ 3\,]}\textbf{. Obtened:}
a) El rango de la matriz A seguˊn los valores del paraˊmetro a. (3 puntos)\textbf{a) El rango de la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ según los valores del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{. (3 puntos)}
Estudiemos ∣A∣ |A| ,

∣A∣=∣123−1a11a2−23∣=C3→3C3∣120−1a41a2−20∣ desarrollando por la 3ª columna=−4∣12a2−2−2∣=−4(2−2−2)=−4(a2−4)|A|=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\-1 & a & 1 \\1 & a^2-2 & 3\end{vmatrix}\stackrel{C_3\to 3C_3}{=}\begin{vmatrix}1 & 2 & 0 \\-1 & a & 4 \\1 & a^2-2 & 0\end{vmatrix}\ \text{desarrollando por la 3ª columna}=-4\begin{vmatrix}1 & 2 \\a^2-2 & -2\end{vmatrix}=-4(2-2-2)=-4(a^2-4)

igualando el determinante a 0⇒−4(a2−4)=0⇒a2−4=0⇒a2=4⇒a=±4=±2 \text{igualando el determinante a 0} \Rightarrow -4(a^2-4)=0 \Rightarrow a^2-4=0 \Rightarrow a^2=4 \Rightarrow a=\pm\sqrt{4}=\pm2

Por tanto,

Si a≠−2 y 2 a\neq -2\ y\ 2 → ∣A∣≠0⇒ran(A)=3 |A|\neq0 \Rightarrow ran(A)=3

Si a=−2 a=-2 , ⇒\Rightarrow A=(123−1−21123)A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\-1 & -2 & 1 \\1 & 2 & 3\end{pmatrix}sabemos que ∣A∣=0 |A|=0 ⇒\Rightarrow como ∣23−21∣=2+6=8≠0⇒ran(A)=2\begin{vmatrix}2 & 3 \\-2 & 1\end{vmatrix}=2+6=8\neq0 \Rightarrow ran(A)=2

Si a=2 a=2 , ⇒ \Rightarrow A=(123−121123)A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\-1 & 2 & 1 \\1 & 2 & 3\end{pmatrix}sabemos que ∣A∣=0 |A|=0 ⇒\Rightarrow como ∣2321∣=2−6=−4≠0⇒ran(A)=2\begin{vmatrix}2 & 3 \\2 & 1\end{vmatrix}=2-6=-4\neq0 \Rightarrow ran(A)=2

Finalmente,

Si a≠−2 y 2 a\neq -2\ y\ 2 , ran(A)=3 ran(A)=3
Si a=−2 o a=2 a=-2\ \text{o}\ a=2 , ran(A)=2 ran(A)=2

b) Una matriz C tal que AC=16I, siendo I la matriz identidad, cuando a=0. (4 puntos)\textbf{b) Una matriz } \boldsymbol{C}\textbf{ tal que } \boldsymbol{AC = 16I}\textbf{, siendo } \boldsymbol{I}\textbf{ la matriz identidad, cuando } \boldsymbol{a = 0}\textbf{. (4 puntos)}

Como a=0 (a≠−2 y 2), ran(A)=3 a=0\ (a\neq -2\ y\ 2),\ ran(A)=3 y existe A−1 A^{-1} .
Sabemos que:

∣A∣=−4(a2−4)⇒∣A∣a=0=[−4(a2−4)]a=0=−4(02−4)=16|A|=-4(a^2-4) \Rightarrow |A|_{a=0}=[-4(a^2-4)]_{a=0}=-4(0^2-4)=16

Calculamos A−1 A^{-1} ,

A−1=Adj⁡(AT)∣A∣=116Adj(1−1120−2313)=116(+∣0−213∣−∣2−233∣+∣2031∣−∣−1113∣+∣1133∣−∣1−131∣+∣−110−2∣−∣112−2∣+∣1−120∣)⇒A−1=116(2−12240−4242) A^{-1}=\dfrac{\operatorname{Adj}(A^T)}{|A|}=\dfrac{1}{16}\text{Adj} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ 2 & 0 & -2\\ 3 & 1 & 3 \end{pmatrix} =\dfrac{1}{16}\begin{pmatrix} + \begin{vmatrix}0 & -2\\1 & 3\end{vmatrix} - \begin{vmatrix}2 & -2\\ 3 & 3\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}2 & 0\\ 3 & 1\end{vmatrix}\\\\ - \begin{vmatrix}-1 & 1\\ 1 & 3\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}1 & 1\\ 3 & 3\end{vmatrix} - \begin{vmatrix}1 & -1\\ 3 & 1\end{vmatrix}\\\\ + \begin{vmatrix}-1 & 1\\ 0 & -2\end{vmatrix} - \begin{vmatrix}1 & 1\\ 2 & -2\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}1 & -1\\ 2 & 0\end{vmatrix} \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{16}\begin{pmatrix}2 & -12 & 2 \\4 & 0 & -4 \\2& 4 & 2\end{pmatrix}

Finalmente, A−1=116(2−12240−4242)A^{-1}=\frac{1}{16}\begin{pmatrix}2 & -12 & 2 \\4 & 0 & -4 \\2 & 4 & 2\end{pmatrix}

Obtenemos la matriz
#x27; in math mode at position 75: …izquierda por} $̲ltx A^{-1} " style="color:#cc0000">C \Rightarrow AC=16I\Rightarrow \text{multiplicando por la izquierda por} $ltx A^{-1} ,

A−1AC=A−116I⇒IC=16A−1⇒C=16A−1A^{-1}AC=A^{-1}16I\Rightarrow IC=16A^{-1}\Rightarrow C=16A^{-1}

Luego ⇒\Rightarrow C=16⋅116(2−12240−4242)=(2−12240−4242)C=16\cdot\frac{1}{16}\begin{pmatrix}2 & -12 & 2 \\4 & 0 & -4 \\2 & 4 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -12 & 2 \\4 & 0 & -4 \\2 & 4 & 2\end{pmatrix}

Solución: C=(2−12240−4242)C=\begin{pmatrix}2 & -12 & 2 \\4 & 0 & -4 \\2 & 4 & 2\end{pmatrix}

c) El rango de la matriz B y la discusioˊn de si el sistema B(xyz)=(1−12) tiene solucioˊn. (3 puntos)\textbf{c) El rango de la matriz } \boldsymbol{B}\textbf{ y la discusión de si el sistema } \boldsymbol{B \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}}\textbf{ tiene solución. (3 puntos)}

B=(1231−2−3246)B=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\1 & -2 & -3 \\2 & 4 & 6\end{pmatrix}

En esta matriz ⇒\Rightarrow F2=−F1yF3=2F1,F_2=-F_1 \quad \text{y} \quad F_3=2F_1,

tiene una sola fila linealmente independiente, luego ⇒ \Rightarrow ran(B)=1.ran(B)=1.

d) ¿El sistema Bx=y Bx=y tiene solución?

La matriz ampliada de este sistema es: M∗=(12311−2−3−12462)M^*=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 1 \\1 & -2 & -3 & -1 \\2 & 4 & 6 & 2\end{pmatrix}

En esta matriz también se cumple que F2=−F1yF3=2F1,F_2=-F_1 \quad \text{y} \quad F_3=2F_1,

pero el término independiente sí es proporcional, luego ran(B)=ran(M∗)=1<nº de incoˊgnitas,ran(B)=ran(M^*)=1<nº\ \text{de incógnitas},

por tanto el sistema es compatible indeterminado y tiene solución.

Aunque no se pide, la solución sería:

De la primera ecuación despejamos⇒ \Rightarrow ⇒ \Rightarrow x=1−2y−3zx=1-2y-3z

Por tanto, {x=1−2λ−3μy=λz=μλ,μ∈R\begin{cases}x=1-2\lambda-3\mu \\y=\lambda \\z=\mu\end{cases}\quad \lambda,\mu\in\mathbb{R}

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