Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Problema 4.

Se dan las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ b & 0 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1-b \end{pmatrix}$, que dependen del parámetro real $b$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Los valores de $b$ para que cada una de las matrices $AB$ y $BA$ tenga inversa. (3 puntos)
b) Los valores de $b$ para que la matriz $A^TA$ tenga inversa, siendo $A^T$ la matriz traspuesta de $A$. (3 puntos)
c) La inversa de $A^T$, cuando dicha inversa exista. (4 puntos)

$\textbf{Problema 4. Se dan las matrices } \boldsymbol{A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ b & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}}\textbf{ y } \boldsymbol{B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -1 & b & -1 \end{pmatrix}}\textbf{, que dependen del parámetro real } \boldsymbol{b}\textbf{. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:}$
$\textbf{a) Los valores de } \boldsymbol{b}\textbf{ para que cada una de las matrices } \boldsymbol{AB}\textbf{ y } \boldsymbol{BA}\textbf{ tenga inversa. (3 puntos)}$
Calculamos $AB$,

$AB=\begin{pmatrix}1 & 2 \\b & 0 \\-1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 0 & 2 \\-1 & b & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & 2b & 0 \\-b & 0 & 2b \\-1 & 2b & -4\end{pmatrix}$

$\exists (AB)^{-1} \iff |AB|\neq 0$

$|AB|=\begin{vmatrix}-3 & 2b & 0 \\-b & 0 & 2b \\-1 & 2b & -4\end{vmatrix}=-4b^2+12b^2-8b^2=0\Rightarrow\text{no } \exists(AB)^{-1}$

Calculamos $BA$,

$BA=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 2 \\-1 & b & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 \\b & 0 \\-1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & 2 \\b^2 & -4\end{pmatrix}$

$\exists (BA)^{-1} \iff |BA|\neq 0$

$|BA|=\begin{vmatrix}-3 & 2 \\b^2 & -4\end{vmatrix}=12-2b^2$

$12-2b^2=0 \Rightarrow b^2=6 \Rightarrow b=\pm\sqrt6\Rightarrow \exists(BA)^{-1}\ \text{si}\ b\neq\pm\sqrt6$

$\textbf{b) Los valores de } \boldsymbol{b}\textbf{ para que la matriz } \boldsymbol{A^T A}\textbf{ tenga inversa, siendo } \boldsymbol{A^T}\textbf{ la matriz traspuesta de } \boldsymbol{A}\textbf{. (3 puntos)}$
Calculamos $A^TA$,

$A^TA=\begin{pmatrix}1 & b & -1 \\2 & 0 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 \\b & 0 \\-1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b^2+2 & 0 \\0 & 8\end{pmatrix}$

$\exists (A^TA)^{-1} \iff |A^TA|\neq 0$

$|A^TA|=\begin{vmatrix}b^2+2 & 0 \\0 & 8\end{vmatrix}=8(b^2+2)$

$8(b^2+2)\neq 0\Rightarrow b^2+2\neq 0\Rightarrow b^2=-2\Rightarrow b=\pm\sqrt{-2}\ \text{no existe}$

$\textbf{c) La inversa de } \boldsymbol{A^T A}\textbf{, cuando dicha inversa exista. (4 puntos)}$

Sabemos de b) que $|A^TA| = 8(b^2+2)$

$A^TA=\begin{pmatrix}b^2+2 & 0 \\0 & 8\end{pmatrix}$ $\xrightarrow{\text{menores}}$ $\begin{pmatrix}8 & 0 \\0 & b^2+2\end{pmatrix}$ $\xrightarrow{\text{adjunta}}$$\begin{pmatrix}8 & 0 \\0 & b^2+2\end{pmatrix}$$\xrightarrow{\text{transpuesta}}$$\begin{pmatrix}8 & 0 \\0 & b^2+2\end{pmatrix}$

$Y\ (A^TA)^{-1}=\frac{1}{8(b^2+2)}\begin{pmatrix}8 & 0 \\0 & b^2+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{b^2+2} & 0 \\0 & \frac{1}{8}\end{pmatrix}$

Por tanto, $\forall, b\in\mathbb{R},\ (A^TA)^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{b^2+2} & 0 \\0 & \frac{1}{8}\end{pmatrix}$.