Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Cuestión 1B.

Considere las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}$.

a) [1,25] Compruebe que las matrices $A$ y $B$ son regulares (o invertibles) y calcule sus matrices inversas.
b) [1,25] Resuelva la ecuación $A^t X B = C$, donde $A^t$ es la transpuesta de $A$.

$\textbf{a) [1,25] Compruebe que las matrices } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ son regulares (o invertibles) y calcule sus matrices inversas.}$

Una matriz cuadrada es regular si y solo si su determinante no se anula, así que empezamos por ahí.

$|A|=\begin{vmatrix}2&1\\1&3\end{vmatrix}=6-1=5\neq0$

$|B|=\begin{vmatrix}1&0\\2&1\end{vmatrix}=1-0=1\neq0$

Las dos son, por tanto, regulares. Para invertirlas usamos la fórmula de la matriz de orden dos:

$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}3&-1\\-1&2\end{pmatrix}$

$B^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}$

Comprobamos una de ellas multiplicando:

$A\,A^{-1}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1\\-1&2\end{pmatrix}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}=I$

$\textbf{b) [1,25] Resuelva la ecuación } \boldsymbol{A^t X B = C}\textbf{, donde } \boldsymbol{A^t}\textbf{ es la transpuesta de } \boldsymbol{A}\textbf{.}$

Observamos primero que $A$ es simétrica, de modo que $A^{t}=A$ y también $(A^{t})^{-1}=A^{-1}$.

Como el producto de matrices no es conmutativo, para despejar $X$ multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda y por $B^{-1}$ por la derecha, respetando en todo momento el lado.

$A^{t}XB=C\ \Rightarrow\ A^{-1}A\,X\,B\,B^{-1}=A^{-1}CB^{-1}$

$X=A^{-1}\,C\,B^{-1}$

Hacemos el producto por pasos. Primero $A^{-1}C$:

$A^{-1}C=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}3&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&0\\5&0\end{pmatrix}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}10&0\\5&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\1&0\end{pmatrix}$

Y ahora multiplicamos por $B^{-1}$ por la derecha:

$X=\begin{pmatrix}2&0\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\1&0\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida:

$A^{t}XB=\begin{pmatrix}5&0\\5&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&0\\5&0\end{pmatrix}=C$

La solución de la ecuación matricial es $X=\begin{pmatrix}2&0\\1&0\end{pmatrix}$.