Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Ejercicio B1
Calcula las dos matrices $A$ y $B$ que satisfacen las siguientes igualdades:
$A+B=\begin{pmatrix} 2 & 8 & 2 & 9\\ 2 & 6 & 2 & 11\end{pmatrix},$
$3A-2B=\begin{pmatrix} 6 & -16 & 6 & -3\\ -4 & 18 & -4 & 18\end{pmatrix}.$

$\textbf{Calcula las dos matrices } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ que satisfacen las igualdades dadas.}$

Se trata de un sistema de dos ecuaciones matriciales con dos matrices incógnita. Se resuelve igual que un sistema numérico, por reducción: combinamos las dos ecuaciones de modo que desaparezca una de las incógnitas.

$\begin{cases}A+B=S\\ 3A-2B=T\end{cases}$

Multiplicando la primera ecuación por $2$ y sumándole la segunda se elimina $B$:

$2(A+B)+(3A-2B)=2S+T\Rightarrow 5A=2S+T$

Calculamos el segundo miembro:

$2S=\begin{pmatrix}4&16&4&18\\4&12&4&22\end{pmatrix}$

$2S+T=\begin{pmatrix}4+6&16-16&4+6&18-3\\4-4&12+18&4-4&22+18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&0&10&15\\0&30&0&40\end{pmatrix}$

Dividiendo entre $5$:

$A=\begin{pmatrix}2&0&2&3\\0&6&0&8\end{pmatrix}$

La otra matriz se despeja de la primera ecuación:

$B=S-A=\begin{pmatrix}2-2&8-0&2-2&9-3\\2-0&6-6&2-0&11-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&8&0&6\\2&0&2&3\end{pmatrix}$

Comprobamos las dos igualdades del enunciado:

$A+B=\begin{pmatrix}2&8&2&9\\2&6&2&11\end{pmatrix}$

$3A-2B=\begin{pmatrix}6&0&6&9\\0&18&0&24\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&16&0&12\\4&0&4&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&-16&6&-3\\-4&18&-4&18\end{pmatrix}$

Las matrices pedidas son $A=\begin{pmatrix}2&0&2&3\\0&6&0&8\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}0&8&0&6\\2&0&2&3\end{pmatrix}$.