Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2022

B.3. [hasta 2,5 puntos]
Sean $A,B,C,D$ y $E$ sucesos de un determinado experimento aleatorio.

a) [0,75 puntos] Sabemos que $P(A)=0{,}4$; $P(B)=0{,}3$ y $P(A\cup B)=0{,}5$. Calcula la probabilidad de que ocurran $A$ y $B$.
b) [1 punto] Sabemos que $P(C)=0{,}5$; $P(D)=0{,}6$ y $P(C\cup D)=0{,}7$. Calcula la probabilidad de que ocurra $C$ sabiendo que ha ocurrido $D$.
c) [0,75 puntos] Sabemos que $P(A)=0{,}4$; $P(E)=0{,}6$ y que los sucesos $A$ y $E$ son independientes. Calcula la probabilidad de que ocurra alguno de los dos sucesos.

Los tres apartados se apoyan en la misma fórmula, la de la probabilidad de la unión de dos sucesos, despejando en cada caso el término que se desconoce.

$P(X\cup Y)=P(X)+P(Y)-P(X\cap Y)$

$\textbf{a) [0,75 puntos] Sabemos que } \boldsymbol{P(A)=0{,}4}\textbf{; } \boldsymbol{P(B)=0{,}3}\textbf{ y } \boldsymbol{P(A\cup B)=0{,}5}\textbf{. Calcula la probabilidad de que ocurran } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{.}$

Que ocurran los dos sucesos es la intersección, que se despeja de la fórmula anterior.

$P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=0{,}4+0{,}3-0{,}5$

$P(A\cap B)=0{,}2$

La probabilidad de que ocurran $A$ y $B$ es $0{,}2$, es decir, un $20\%$.

$\textbf{b) [1 punto] Sabemos que } \boldsymbol{P(C)=0{,}5}\textbf{; } \boldsymbol{P(D)=0{,}6}\textbf{ y } \boldsymbol{P(C\cup D)=0{,}7}\textbf{. Calcula la probabilidad de que ocurra } \boldsymbol{C}\textbf{ sabiendo que ha ocurrido } \boldsymbol{D}\textbf{.}$

Se pide una probabilidad condicionada, y para calcularla hace falta antes la intersección, que se obtiene igual que en el apartado anterior.

$P(C\cap D)=P(C)+P(D)-P(C\cup D)=0{,}5+0{,}6-0{,}7=0{,}4$

$P(C\mid D)=\dfrac{P(C\cap D)}{P(D)}=\dfrac{0{,}4}{0{,}6}=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}6667$

La probabilidad de que ocurra $C$ sabiendo que ha ocurrido $D$ es $\frac{2}{3}\approx 0{,}6667$, es decir, un $66{,}67\%$.

$\textbf{c) [0,75 puntos] Sabemos que } \boldsymbol{P(A)=0{,}4}\textbf{; } \boldsymbol{P(E)=0{,}6}\textbf{ y que los sucesos } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{E}\textbf{ son independientes. Calcula la probabilidad de que ocurra alguno de los dos sucesos.}$

Ahora el dato que falta lo aporta la independencia: en ese caso la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades.

$P(A\cap E)=P(A)\cdot P(E)=0{,}4\cdot 0{,}6=0{,}24$

Que ocurra alguno de los dos sucesos es la unión.

$P(A\cup E)=P(A)+P(E)-P(A\cap E)=0{,}4+0{,}6-0{,}24=0{,}76$

La probabilidad de que ocurra alguno de los dos sucesos es $0{,}76$, es decir, un $76\%$.