Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2020

PREGUNTA 5. Estadística y Probabilidad.
Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que $P(A) = 0{,}4$ y $P(\bar{B}) = 0{,}7$ y $P(\bar{B} \mid A) = 0{,}75$. Calcule las siguientes probabilidades:

a) $P(A \cap \bar{B})$;
b) $P(A \cup B)$;
c) $P(A \cap B)$;
d) ¿Son A y B sucesos independientes? Justifique la respuesta.

De los datos del enunciado se obtiene primero la probabilidad de $B$ a partir de la de su contrario.

$P(A) = 0{,}4 \qquad P(\bar{B}) = 0{,}7 \Rightarrow P(B) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$

$\textbf{a) } \boldsymbol{P(A \cap \bar{B})}$

De la definición de probabilidad condicionada se despeja la intersección.

$P(\bar{B} \mid A) = \dfrac{P(A \cap \bar{B})}{P(A)} \Rightarrow P(A \cap \bar{B}) = P(A)\cdot P(\bar{B} \mid A)$

$P(A \cap \bar{B}) = 0{,}4 \cdot 0{,}75 = 0{,}3$

$\textbf{b) } \boldsymbol{P(A \cup B)}$

Para la unión hace falta la intersección de $A$ y $B$, que sale de repartir $A$ entre los casos en que ocurre $B$ y aquellos en que no.

$P(A \cap B) = P(A) - P(A \cap \bar{B}) = 0{,}4 - 0{,}3 = 0{,}1$

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}4 + 0{,}3 - 0{,}1 = 0{,}6$

$\textbf{c) } \boldsymbol{P(A \cap B)}$

Es el valor ya calculado en el apartado anterior.

$P(A \cap B) = 0{,}1$

$\textbf{d) ¿Son A y B sucesos independientes? Justifique la respuesta.}$

Dos sucesos son independientes si la probabilidad de su intersección coincide con el producto de sus probabilidades.

$P(A)\cdot P(B) = 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12$

$P(A \cap B) = 0{,}1 \neq 0{,}12$

Los sucesos $A$ y $B$ no son independientes.