Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2024

EJERCICIO 5. Estadística y Probabilidad.
Se estima que en una población el 20 % padece obesidad y que el 11 % padece obesidad y son hipertensos. Además, el 27,5 % de los hipertensos padecen obesidad.

a) ¿Qué porcentaje de la población padece obesidad o es hipertenso?
b) ¿Son independientes los sucesos “padecer obesidad” y “ser hipertensos”?
c) Calcule la probabilidad de que un individuo que no padece obesidad sea hipertenso.

Nombramos los sucesos:

$O \equiv$ padecer obesidad,

$H \equiv$ ser hipertenso.

$P(O) = 0{,}20 \qquad P(O \cap H) = 0{,}11 \qquad P(O \mid H) = 0{,}275$

Antes de nada obtenemos $P(H)$, despejándola de la definición de probabilidad condicionada.

$P(O \mid H) = \dfrac{P(O \cap H)}{P(H)} \Rightarrow 0{,}275 = \dfrac{0{,}11}{P(H)} \Rightarrow P(H) = \dfrac{0{,}11}{0{,}275} = 0{,}40$

$\textbf{a) ¿Qué porcentaje de la población padece obesidad o es hipertenso?}$

Se pide la probabilidad de la unión, que no es la suma de las probabilidades porque los sucesos no son incompatibles.

$P(O \cup H) = P(O) + P(H) - P(O \cap H) = 0{,}20 + 0{,}40 - 0{,}11 = 0{,}49$

El 49 % de la población padece obesidad o es hipertensa.

$\textbf{b) ¿Son independientes los sucesos “padecer obesidad” y “ser hipertensos”?}$

Dos sucesos son independientes si la probabilidad de su intersección coincide con el producto de sus probabilidades.

$P(O)\cdot P(H) = 0{,}20 \cdot 0{,}40 = 0{,}08$

$P(O \cap H) = 0{,}11 \neq 0{,}08$

Los sucesos no son independientes: padecer obesidad aumenta la probabilidad de ser hipertenso.

$\textbf{c) Calcule la probabilidad de que un individuo que no padece obesidad sea hipertenso.}$

Se pide la probabilidad condicionada $P(H \mid \overline{O})$. Calculamos antes el numerador repartiendo a los hipertensos entre los que padecen obesidad y los que no.

$P(\overline{O} \cap H) = P(H) - P(O \cap H) = 0{,}40 - 0{,}11 = 0{,}29$

$P(\overline{O}) = 1 - P(O) = 1 - 0{,}20 = 0{,}80$

$P(H \mid \overline{O}) = \dfrac{P(\overline{O} \cap H)}{P(\overline{O})} = \dfrac{0{,}29}{0{,}80} = 0{,}3625$

De los individuos que no padecen obesidad, el 36,25 % es hipertenso.