Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2020

A 3 [hasta 2,5 puntos]
En un instituto, el 90 % del alumnado matriculado ha nacido en la ciudad en la que está localizado dicho centro. El 42 % del alumnado son chicos, y el 54 % son chicas nacidas en la ciudad en la que se ubica el instituto.

a) [1 punto] Elegida una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no sea nacida en la ciudad donde se ubica el instituto?
b) [0,75 puntos] ¿Y la probabilidad de que sea chica y no haya nacido en la ciudad donde se ubica el instituto?
c) [0,75 puntos] Se ha elegido una persona al azar entre el alumnado y ha resultado ser nacida en la ciudad donde se ubica el instituto. ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico?

Se llama $N$ al suceso «la persona elegida ha nacido en la ciudad del instituto», $H$ al suceso «es chico» y $M$ al suceso «es chica». Los tres datos del enunciado son:

$P(N)=0{,}90,\qquad P(H)=0{,}42,\qquad P(M\cap N)=0{,}54$

$P(M)=1-P(H)=1-0{,}42=0{,}58$

Con esos valores se completa la tabla de contingencia, restando en cada fila y en cada columna.

$$	$N$	$\overline{N}$	$\text{Total}$ Chicos $H$	0,36	0,06	0,42 Chicas $M$	0,54	0,04	0,58 Total	0,90	0,10	1

$\textbf{a) [1 punto] Elegida una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no sea nacida en la ciudad donde se ubica el instituto?}$

Es el suceso contrario del dato que da el enunciado.

$P(\overline{N})=1-P(N)=1-0{,}90=0{,}10$

La probabilidad de que no haya nacido en la ciudad donde se ubica el instituto es $0{,}10$, es decir, un $10\%$.

$\textbf{b) [0,75 puntos] ¿Y la probabilidad de que sea chica y no haya nacido en la ciudad donde se ubica el instituto?}$

El conjunto de las chicas se parte en dos: las nacidas en la ciudad y las que no. Basta restar.

$P(M)=P(M\cap N)+P\left(M\cap\overline{N}\right)$

$P\left(M\cap\overline{N}\right)=P(M)-P(M\cap N)=0{,}58-0{,}54=0{,}04$

La probabilidad de que sea chica y no haya nacido en la ciudad es $0{,}04$, es decir, un $4\%$.

$\textbf{c) [0,75 puntos] Se ha elegido una persona al azar entre el alumnado y ha resultado ser nacida en la ciudad donde se ubica el instituto. ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico?}$

Se pide una probabilidad condicionada, y la intersección se obtiene del mismo modo, restando dentro de la columna de los nacidos en la ciudad.

$P(H\cap N)=P(N)-P(M\cap N)=0{,}90-0{,}54=0{,}36$

$P(H\mid N)=\dfrac{P(H\cap N)}{P(N)}=\dfrac{0{,}36}{0{,}90}=0{,}4$

Entre el alumnado nacido en la ciudad donde se ubica el instituto, la probabilidad de que la persona elegida sea chico es $0{,}4$, es decir, un $40\%$.