Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2022

EJERCICIO 5. Estadística y Probabilidad.
Un estudio revela que 2 de cada 5 habitantes de una determinada población son menores de 30 años, el 70 % de los habitantes realizan ejercicio físico con regularidad y el 30 % de los habitantes son menores de 30 años y realizan ejercicio físico con regularidad.

a) ¿Qué porcentaje de la población ni es menor de 30 años ni realiza ejercicio físico con regularidad?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un habitante que no realiza ejercicio físico con regularidad sea menor de 30 años?
c) ¿Son independientes los sucesos ser menor de 30 años y realizar ejercicio físico con regularidad? Justifique la respuesta.

Nombramos los sucesos:

$M \equiv$ ser menor de 30 años,

$E \equiv$ realizar ejercicio físico con regularidad.

Que 2 de cada 5 habitantes sean menores de 30 años significa $P(M) = \frac{2}{5} = 0{,}40$.

$P(M) = 0{,}40 \qquad P(E) = 0{,}70 \qquad P(M \cap E) = 0{,}30$

$\textbf{a) ¿Qué porcentaje de la población ni es menor de 30 años ni realiza ejercicio físico con regularidad?}$

Por las leyes de De Morgan, el suceso pedido es el contrario de la unión.

$P(M \cup E) = P(M) + P(E) - P(M \cap E) = 0{,}40 + 0{,}70 - 0{,}30 = 0{,}80$

$P(\overline{M} \cap \overline{E}) = P(\overline{M \cup E}) = 1 - 0{,}80 = 0{,}20$

El 20 % de la población ni es menor de 30 años ni realiza ejercicio físico con regularidad.

$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de que un habitante que no realiza ejercicio físico con regularidad sea menor de 30 años?}$

Se pide la probabilidad condicionada $P(M \mid \overline{E})$. Calculamos antes el numerador y el denominador.

$P(M \cap \overline{E}) = P(M) - P(M \cap E) = 0{,}40 - 0{,}30 = 0{,}10$

$P(\overline{E}) = 1 - P(E) = 1 - 0{,}70 = 0{,}30$

$P(M \mid \overline{E}) = \dfrac{P(M \cap \overline{E})}{P(\overline{E})} = \dfrac{0{,}10}{0{,}30} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}3333$

De los habitantes que no hacen ejercicio con regularidad, la tercera parte es menor de 30 años.

$\textbf{c) ¿Son independientes los sucesos ser menor de 30 años y realizar ejercicio físico con regularidad? Justifique la respuesta.}$

Dos sucesos son independientes si la probabilidad de su intersección coincide con el producto de sus probabilidades.

$P(M)\cdot P(E) = 0{,}40 \cdot 0{,}70 = 0{,}28$

$P(M \cap E) = 0{,}30 \neq 0{,}28$

Los sucesos no son independientes: ser menor de 30 años y hacer ejercicio con regularidad se dan juntos algo más de lo que cabría esperar si no guardaran relación.