Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2021

EJERCICIO 5. Estadística y Probabilidad.
En una población el 45 % son hombres. El 27 % de esa población resulta ser hombre y lector de prensa deportiva, mientras que un 38,5 % es mujer y no lectora de esa prensa.

a) De las mujeres, ¿qué porcentaje lee prensa deportiva?
b) ¿Qué porcentaje es mujer o lee prensa deportiva?
c) De los lectores de prensa deportiva, ¿qué porcentaje son hombres?
d) ¿Son incompatibles los sucesos ser hombre y no leer prensa deportiva? Justifique la respuesta.

Nombramos los sucesos:

$H \equiv$ ser hombre, $M \equiv$ ser mujer,

$L \equiv$ leer prensa deportiva.

$P(H) = 0{,}45 \Rightarrow P(M) = 1 - 0{,}45 = 0{,}55$

$P(H \cap L) = 0{,}27 \qquad P(M \cap \overline{L}) = 0{,}385$

$\textbf{a) De las mujeres, ¿qué porcentaje lee prensa deportiva?}$

Se pide la probabilidad condicionada $P(L \mid M)$. Las mujeres se reparten entre las que leen prensa deportiva y las que no.

$P(M \cap L) = P(M) - P(M \cap \overline{L}) = 0{,}55 - 0{,}385 = 0{,}165$

$P(L \mid M) = \dfrac{P(M \cap L)}{P(M)} = \dfrac{0{,}165}{0{,}55} = 0{,}30$

El 30 % de las mujeres lee prensa deportiva.

$\textbf{b) ¿Qué porcentaje es mujer o lee prensa deportiva?}$

Necesitamos antes la probabilidad de leer prensa deportiva, que se reparte entre hombres y mujeres.

$P(L) = P(H \cap L) + P(M \cap L) = 0{,}27 + 0{,}165 = 0{,}435$

$P(M \cup L) = P(M) + P(L) - P(M \cap L) = 0{,}55 + 0{,}435 - 0{,}165 = 0{,}82$

El 82 % de la población es mujer o lee prensa deportiva.

$\textbf{c) De los lectores de prensa deportiva, ¿qué porcentaje son hombres?}$

Se pide la probabilidad condicionada $P(H \mid L)$.

$P(H \mid L) = \dfrac{P(H \cap L)}{P(L)} = \dfrac{0{,}27}{0{,}435} = \dfrac{18}{29} \approx 0{,}6207$

De los lectores de prensa deportiva, el 62,07 % son hombres.

$\textbf{d) ¿Son incompatibles los sucesos ser hombre y no leer prensa deportiva? Justifique la respuesta.}$

Dos sucesos son incompatibles cuando no pueden darse a la vez, es decir, cuando la probabilidad de su intersección es nula.

$P(H \cap \overline{L}) = P(H) - P(H \cap L) = 0{,}45 - 0{,}27 = 0{,}18$

Los sucesos no son incompatibles: hay un 18 % de la población formado por hombres que no leen prensa deportiva.