Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2024

EJERCICIO 5. Estadística y Probabilidad.
En una encuesta el 80 % de los entrevistados dice que lee o escucha música, el 35 % hace las dos cosas y el 60 % no lee.
Calcule las probabilidades de que una persona elegida al azar:

a) Escuche música y no lea.
b) Lea y no escuche música.
c) Haga solamente una de las dos cosas.
d) ¿Son independientes los sucesos “escuchar música” y “leer”? Justifique la respuesta.

Nombramos los sucesos:

$L \equiv$ leer,

$M \equiv$ escuchar música.

$P(L \cup M) = 0{,}80 \qquad P(L \cap M) = 0{,}35 \qquad P(\overline{L}) = 0{,}60$

De la probabilidad del suceso contrario se obtiene la de leer, y de la fórmula de la unión, la de escuchar música.

$P(L) = 1 - 0{,}60 = 0{,}40$

$P(L \cup M) = P(L) + P(M) - P(L \cap M) \Rightarrow 0{,}80 = 0{,}40 + P(M) - 0{,}35$

$P(M) = 0{,}80 - 0{,}40 + 0{,}35 = 0{,}75$

$\textbf{a) Escuche música y no lea.}$

Quienes escuchan música se reparten entre los que además leen y los que no.

$P(M \cap \overline{L}) = P(M) - P(L \cap M) = 0{,}75 - 0{,}35 = 0{,}40$

La probabilidad de que una persona escuche música y no lea es $0{,}40$.

$\textbf{b) Lea y no escuche música.}$

Razonamos igual con el suceso $L$.

$P(L \cap \overline{M}) = P(L) - P(L \cap M) = 0{,}40 - 0{,}35 = 0{,}05$

La probabilidad de que una persona lea y no escuche música es $0{,}05$.

$\textbf{c) Haga solamente una de las dos cosas.}$

Hacer solamente una de las dos cosas es la unión de los dos sucesos anteriores, que son incompatibles entre sí.

$P(M \cap \overline{L}) + P(L \cap \overline{M}) = 0{,}40 + 0{,}05 = 0{,}45$

La probabilidad de que una persona haga solamente una de las dos cosas es $0{,}45$.

$\textbf{d) ¿Son independientes los sucesos “escuchar música” y “leer”? Justifique la respuesta.}$

Dos sucesos son independientes si la probabilidad de su intersección coincide con el producto de sus probabilidades.

$P(L)\cdot P(M) = 0{,}40 \cdot 0{,}75 = 0{,}30$

$P(L \cap M) = 0{,}35 \neq 0{,}30$

Los sucesos no son independientes: leer y escuchar música se dan juntos con más frecuencia de la que cabría esperar si no guardaran relación.