Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2021

B.3. [hasta 2,5 puntos]
Sean $A,B,C,D,E,$ y $F$ sucesos de un determinado experimento aleatorio.

a) [0,75 puntos] Sabemos que $P(A)=0{,}5$; $P(A\cup B)=0{,}7$ y $P(A\cap B)=0{,}4$. Halla la probabilidad de que ocurra $B$.
b) [1 punto] Sabemos que $P(C)=0{,}4$; $P(D)=0{,}3$ y $P(C\cup D)=0{,}5$. Halla la probabilidad de que ocurra $C$ sabiendo que no ocurre $D$.
c) [0,75 puntos] Sabemos que $P(E)=0{,}6$; $P(F)=0{,}8$, y que los sucesos $E$ y $F$ son independientes. Calcula la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos.

Los tres apartados se apoyan en la fórmula de la probabilidad de la unión, despejando en cada caso el término que se desconoce.

$P(X\cup Y)=P(X)+P(Y)-P(X\cap Y)$

$\textbf{a) [0,75 puntos] Sabemos que } \boldsymbol{P(A)=0{,}5}\textbf{; } \boldsymbol{P(A\cup B)=0{,}7}\textbf{ y } \boldsymbol{P(A\cap B)=0{,}4}\textbf{. Halla la probabilidad de que ocurra } \boldsymbol{B}\textbf{.}$

Aquí lo que falta es la probabilidad de uno de los sucesos, que se despeja igual que antes.

$P(B)=P(A\cup B)+P(A\cap B)-P(A)=0{,}7+0{,}4-0{,}5$

$P(B)=0{,}6$

La probabilidad de que ocurra $B$ es $0{,}6$, es decir, un $60\%$.

$\textbf{b) [1 punto] Sabemos que } \boldsymbol{P(C)=0{,}4}\textbf{; } \boldsymbol{P(D)=0{,}3}\textbf{ y } \boldsymbol{P(C\cup D)=0{,}5}\textbf{. Halla la probabilidad de que ocurra } \boldsymbol{C}\textbf{ sabiendo que no ocurre } \boldsymbol{D}\textbf{.}$

Se pide una probabilidad condicionada al suceso contrario de $D$, de modo que hacen falta la intersección de $C$ con $\overline{D}$ y la probabilidad de $\overline{D}$.

$P(C\cap D)=P(C)+P(D)-P(C\cup D)=0{,}4+0{,}3-0{,}5=0{,}2$

El suceso $C$ se descompone en dos partes disjuntas: la que está dentro de $D$ y la que queda fuera.

$P(C\cap\overline{D})=P(C)-P(C\cap D)=0{,}4-0{,}2=0{,}2$

$P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}3=0{,}7$

$P(C\mid\overline{D})=\dfrac{P(C\cap\overline{D})}{P(\overline{D})}=\dfrac{0{,}2}{0{,}7}=\dfrac{2}{7}\approx 0{,}2857$

La probabilidad de que ocurra $C$ sabiendo que no ocurre $D$ es $\frac{2}{7}\approx 0{,}2857$, es decir, un $28{,}57\%$.

$\textbf{c) [0,75 puntos] Sabemos que } \boldsymbol{P(E)=0{,}6}\textbf{; } \boldsymbol{P(F)=0{,}8}\textbf{, y que los sucesos } \boldsymbol{E}\textbf{ y } \boldsymbol{F}\textbf{ son independientes. Calcula la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos.}$

Que no ocurra ninguno es la intersección de los dos contrarios. Si dos sucesos son independientes, también lo son sus contrarios, así que la probabilidad de la intersección es el producto.

$P(\overline{E})=1-0{,}6=0{,}4\qquad ;\qquad P(\overline{F})=1-0{,}8=0{,}2$

$P\left(\overline{E}\cap\overline{F}\right)=P(\overline{E})\cdot P(\overline{F})=0{,}4\cdot 0{,}2=0{,}08$

Se puede comprobar por las leyes de De Morgan, pasando por la unión:

$P(E\cup F)=0{,}6+0{,}8-0{,}6\cdot 0{,}8=1{,}4-0{,}48=0{,}92\ \Rightarrow\ 1-0{,}92=0{,}08$

La probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos es $0{,}08$, es decir, un $8\%$.