Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2020

B 3 [hasta 2,5 puntos]
Sean $A$ y $B$ dos sucesos compatibles asociados a un experimento aleatorio.
Se sabe que $P(A)=0{,}6$, $P(B)=0{,}5$ y $P(A\cap B)=0{,}4$. Calcula:

a) [0,65 puntos] $P(A\cup B)$
b) [0,6 puntos] $P(A^c\cap B^c)$
c) [0,6 puntos] $P(A^c\cap B)$
d) [0,65 puntos] $P(A|B)$

Los cuatro apartados se leen de las mismas tres probabilidades que da el enunciado.

$P(A)=0{,}6,\qquad P(B)=0{,}5,\qquad P(A\cap B)=0{,}4$

$\textbf{a) [0,65 puntos] } \boldsymbol{P(A\cup B)}$

Se aplica la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos compatibles.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}6+0{,}5-0{,}4$

$P(A\cup B)=0{,}7$

La probabilidad de la unión es $0{,}7$, es decir, un $70\%$.

$\textbf{b) [0,6 puntos] } \boldsymbol{P(A^c\cap B^c)}$

Por las leyes de De Morgan, la intersección de los dos contrarios es el contrario de la unión.

$P\left(A^{c}\cap B^{c}\right)=P\left(\overline{A\cup B}\right)=1-P(A\cup B)=1-0{,}7$

$P\left(A^{c}\cap B^{c}\right)=0{,}3$

La probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos es $0{,}3$, es decir, un $30\%$.

$\textbf{c) [0,6 puntos] } \boldsymbol{P(A^c\cap B)}$

El suceso $B$ se descompone en dos partes disjuntas: la que comparte con $A$ y la que queda fuera.

$P(B)=P(A\cap B)+P\left(A^{c}\cap B\right)$

$P\left(A^{c}\cap B\right)=P(B)-P(A\cap B)=0{,}5-0{,}4=0{,}1$

La probabilidad de que ocurra $B$ y no $A$ es $0{,}1$, es decir, un $10\%$.



$\textbf{d) [0,65 puntos] } \boldsymbol{P(A|B)}$

Se aplica la definición de probabilidad condicionada.

$P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}4}{0{,}5}=0{,}8$

La probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que ha ocurrido $B$ es $0{,}8$, es decir, un $80\%$. Como $P(A\mid B)=0{,}8\neq 0{,}6=P(A)$, los dos sucesos no son independientes.