Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Comunidad de Madrid · 2020

B.2 (2 puntos). A una distancia de 10 m, el nivel de intensidad sonora producida por un foco puntual es de 20 dB. Halle:

a) La potencia del foco. b) El nivel de intensidad sonora a 2 m del foco.

Dato: Intensidad umbral de audición, $I_0={10}^{-12}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{B.2}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{m,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{sonora}}\mathbf{\text{producida}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{foco}}\mathbf{\text{puntual}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{dB.}}\mathbf{\text{Halle:}}\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{foco;}}\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{sonora}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{foco.}}\mathbf{\text{Dato:}}{I}_0={10}^{-12}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$

Un foco puntual emite ondas sonoras por igual en todas las direcciones, de modo que la energía se reparte sobre superficies esféricas concéntricas. La magnitud que mide la energía que atraviesa la unidad de superficie por unidad de tiempo es la intensidad sonora $I$, que se relaciona con el nivel de intensidad sonora $\beta$ (en decibelios) mediante la escala logarítmica:

$\beta =10\log \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{I}{I_0}}\right)$

donde $I_0={10}^{-12}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$ es la intensidad umbral de audición.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{foco}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Primero obtenemos la intensidad sonora a $r=10\mathrm{m}$ a partir del nivel de intensidad sonora. Despejamos $I$ de la definición de $\beta$:

$\beta =10\log \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{I}{I_0}}\right)⟹{\displaystyle \frac{I}{I_0}}={10}^{\beta \mathrm{/}10}$

Sustituyendo los valores:

${\displaystyle \frac{I}{I_0}}={10}^{20\mathrm{/}10}={10}^2=100$

$I=100\cdot I_0=100\cdot {10}^{-12}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}={10}^{-10}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$

Como el foco es puntual, a una distancia $r$ la potencia $P$ se distribuye uniformemente sobre la superficie de una esfera de radio $r$, cuya área es $S=4\pi r^2$. La intensidad es la potencia por unidad de superficie:

$I={\displaystyle \frac{P}{S}}={\displaystyle \frac{P}{4\pi r^2}}$

Despejando la potencia:

$P=I\cdot 4\pi r^2$

Sustituyendo los valores ($I={10}^{-10}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$ y $r=10\mathrm{m}$):

$P={10}^{-10}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}\cdot 4\pi \cdot (10\mathrm{m}{)}^2=4\pi \cdot {10}^{-8}\mathrm{W}$

$\boxed{{\displaystyle P=4\pi \cdot {10}^{-8}\mathrm{W}\approx \mathrm{1,26}\cdot {10}^{-7}\mathrm{W}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{sonora}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{foco}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La potencia del foco es una propiedad de la fuente y no cambia con la distancia; lo que cambia es la superficie sobre la que se reparte. Calculamos la intensidad $I^{\mathrm{\prime }}$ a la nueva distancia $r^{\mathrm{\prime }}=2\mathrm{m}$:

$I^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{P}{4\pi r^{\mathrm{\prime }2}}}$

Sustituyendo los valores:

$I^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{4\pi \cdot {10}^{-8}\mathrm{W}}{4\pi \cdot (2\mathrm{m}{)}^2}}={\displaystyle \frac{{10}^{-8}}{4}}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}=\mathrm{2,5}\cdot {10}^{-9}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$

Observa que la intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia: al pasar de $10\mathrm{m}$ a $2\mathrm{m}$ la distancia se reduce a la quinta parte, por lo que la intensidad aumenta $5^2=25$ veces, en concordancia con $I^{\mathrm{\prime }}=25\cdot I=25\cdot {10}^{-10}=\mathrm{2,5}\cdot {10}^{-9}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$.

Finalmente, calculamos el nivel de intensidad sonora correspondiente:

${\beta }^{\mathrm{\prime }}=10\log \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{I^{\mathrm{\prime }}}{I_0}}\right)$

Sustituyendo los valores:

${\beta }^{\mathrm{\prime }}=10\log \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}\cdot {10}^{-9}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}}{{10}^{-12}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}}}\right)=10\log \text{\hspace{0.17em}⁣}(\mathrm{2,5}\cdot {10}^3)$

${\beta }^{\mathrm{\prime }}=10\log (2500)=10\cdot \mathrm{3,398}=\mathrm{33,98}\mathrm{d}\mathrm{B}$

$\boxed{{\displaystyle {\beta }^{\mathrm{\prime }}\approx \mathrm{33,98}\mathrm{d}\mathrm{B}}}$

Por tanto, al acercarnos de $10\mathrm{m}$ a $2\mathrm{m}$ el nivel de intensidad sonora sube de $20\mathrm{d}\mathrm{B}$ a casi $34\mathrm{d}\mathrm{B}$, lo cual es coherente: aunque la intensidad se multiplica por 25, la escala logarítmica del decibelio hace que el nivel solo crezca en $10\log (25)\approx 14\mathrm{d}\mathrm{B}$.