Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Comunidad de Madrid · 2020

A.2 (2 puntos). Una onda armónica unidimensional, que se propaga en un medio con una velocidad de $400\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, está descrita por la siguiente expresión matemática: $y(x,t)=3\mathrm{sen}(kx-200\pi t+{\varphi }_0)\mathrm{c}\mathrm{m}$ donde x y t están en m y s, respectivamente. Sabiendo que $y(0,0)=\mathrm{1,5}\mathrm{c}\mathrm{m}$ y que la velocidad de oscilación en $t=0$ y $x=0$ es positiva, halle:

a) El número de onda k y la fase inicial ${\varphi }_0$. b) La aceleración máxima de oscilación de un punto genérico del eje x.

$\mathbf{\text{A.2}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{arm}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{unidimensional,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{propaga}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}v=400\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{descrita}}\mathbf{\text{por}}y(x,t)=3\mathrm{sen}(kx-200\pi t+{\varphi }_0)\mathrm{c}\mathrm{m}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{con}}x\mathbf{\text{y}}t\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{s.}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}y(0,0)=\mathrm{1,5}\mathrm{c}\mathrm{m}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{oscilaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}t=0\mathbf{\text{,}}x=0\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{positiva,}}\mathbf{\text{halle:}}$

Partimos de la ecuación general de una onda armónica que avanza en el sentido positivo del eje $x$:

$y(x,t)=A\mathrm{sen}(kx-\omega t+{\varphi }_0)$

Comparándola con la expresión del enunciado identificamos directamente la amplitud y la frecuencia angular:

$A=3\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,03}\mathrm{m}$

$\omega =200\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}{\mathrm{s}}^{-1}$

Estos dos datos, junto con la velocidad de propagación $v=400\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, son la base de todo el problema.



El número de onda $k$ está relacionado con la frecuencia angular y con la velocidad de propagación de la onda. Recordando que $\omega =vk$ (puesto que $\omega =2\pi \mathrm{/}T$ y $k=2\pi \mathrm{/}\lambda$, y $v=\lambda \mathrm{/}T$), despejamos:

$k={\displaystyle \frac{\omega }{v}}$

Sustituyendo los valores con sus unidades:

$k={\displaystyle \frac{200\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}{\mathrm{s}}^{-1}}{400\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}{\mathrm{m}}^{-1}$

$\boxed{{\displaystyle k={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}{\mathrm{m}}^{-1}\approx \mathrm{1,57}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}{\mathrm{m}}^{-1}}}$

Para la fase inicial usamos las dos condiciones que da el enunciado en el punto $x=0$, $t=0$.

Primera condición: la elongación inicial. Imponiendo $y(0,0)=\mathrm{1,5}\mathrm{c}\mathrm{m}$ en la ecuación de onda:

$y(0,0)=3\mathrm{sen}({\varphi }_0)=\mathrm{1,5}\mathrm{c}\mathrm{m}$

$\mathrm{sen}({\varphi }_0)={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{3}}=\mathrm{0,5}$

Esta ecuación tiene dos soluciones en el intervalo $[0,2\pi )$:

${\varphi }_0={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{o}{\varphi }_0={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$

Segunda condición: el signo de la velocidad de oscilación. Esta es la que selecciona cuál de las dos fases es válida. La velocidad de oscilación de una partícula es la derivada de la elongación respecto al tiempo (manteniendo $x$ fijo):

$v_{\text{osc}}(x,t)={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=-A\omega \cos (kx-\omega t+{\varphi }_0)$

El signo menos procede de derivar el término $-\omega t$ del argumento; conviene no olvidarlo, porque es justo lo que decide la respuesta. Evaluando en $x=0$, $t=0$:

$v_{\text{osc}}(0,0)=-A\omega \cos ({\varphi }_0)$

Como nos dicen que esta velocidad es positiva y los factores $A>0$ y $\omega >0$, debe cumplirse:

$-A\omega \cos ({\varphi }_0)>0⟹\cos ({\varphi }_0)<0$

De las dos candidatas, ${\varphi }_0=\pi \mathrm{/}6$ tiene coseno positivo ($\cos (\pi \mathrm{/}6)=+\sqrt{3}\mathrm{/}2$) y ${\varphi }_0=5\pi \mathrm{/}6$ tiene coseno negativo ($\cos (5\pi \mathrm{/}6)=-\sqrt{3}\mathrm{/}2$). Por tanto, la única compatible con que la partícula esté subiendo en el instante inicial es:

$\boxed{{\displaystyle {\varphi }_0={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}}$

En efecto, en $x=0$ la partícula parte de $+\mathrm{1,5}\mathrm{c}\mathrm{m}$ y se mueve hacia la amplitud máxima $+3\mathrm{c}\mathrm{m}$ (velocidad positiva), tal como se aprecia en la gráfica $y(0,t)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{oscilaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{gen}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rico}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{eje}}\mathit{x}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La aceleración de oscilación de una partícula es la derivada segunda de la elongación respecto al tiempo. Derivando otra vez la velocidad de oscilación:

$a_{\text{osc}}(x,t)={\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}y}{\mathrm{\partial }{t}^2}}=-A{\omega }^2\mathrm{sen}(kx-\omega t+{\varphi }_0)$

Esta expresión confirma que cada punto del medio describe un movimiento armónico simple, ya que $a_{\text{osc}}=-{\omega }^{2}y$. La aceleración alcanza su valor máximo (en módulo) cuando el seno vale $\pm 1$, es decir, en los extremos de la oscilación:

$a_{\max }=A{\omega }^2$

Sustituyendo los valores en el SI:

$a_{\max }=\mathrm{0,03}\mathrm{m}\cdot (200\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}{\mathrm{s}}^{-1}{)}^2$

$a_{\max }=\mathrm{0,03}\cdot 4\cdot {10}^4{\pi }^2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}=1200{\pi }^2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$

$\boxed{{\displaystyle a_{\max }=A{\omega }^2\approx \mathrm{1,18}\cdot {10}^4\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}}}$

Este valor es independiente del punto $x$ considerado y de la fase inicial: todos los puntos del medio oscilan con la misma amplitud y la misma frecuencia, por lo que todos comparten la misma aceleración máxima.

$\text{V}\acute{\text{e}}\text{ase la gr}\acute{\text{a}}\text{fica de la elongaci}\acute{\text{o}}\text{n en }x=0\text{:}$