Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Comunidad de Madrid · 2020

B.2 (2 puntos). Un oscilador armónico de frecuencia $1000\mathrm{H}\mathrm{z}$ genera en una cuerda una onda transversal que se propaga en el sentido positivo del eje x, con una longitud de onda de $\mathrm{1,5}\mathrm{m}$. La velocidad máxima de oscilación de un punto de la cuerda es de $100\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Además, para un punto de la cuerda situado en $x=0\mathrm{m}$ y en el instante $t=600\mu \mathrm{s}$, la elongación de la onda es de $1\mathrm{c}\mathrm{m}$ y su velocidad de oscilación es positiva.

a) Determine la velocidad de propagación y la amplitud de la onda. b) Halle la fase inicial y escriba la expresión matemática que representa dicha onda.

$\mathbf{\text{B.2}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{oscilador}}\mathbf{\text{arm}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{nico}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{frecuencia}}1000\mathrm{H}\mathrm{z}\mathbf{\text{genera}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{cuerda}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{transversal}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{propaga}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{positivo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{eje}}x\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathrm{1,5}\mathrm{m}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{oscilaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuerda}}\mathbf{\text{es}}100\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{en}}x=0\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{instante}}t=600\mu \mathrm{s}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{elongaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}1\mathrm{c}\mathrm{m}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{oscilaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{positiva.}}$

Datos: $f=1000\mathrm{H}\mathrm{z}$, $\lambda =\mathrm{1,5}\mathrm{m}$, $v_{\max }=100\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, y en $x=0$, $t=600\mu \mathrm{s}=6\cdot {10}^{-4}\mathrm{s}$ se tiene $y=1\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,01}\mathrm{m}$ con velocidad de oscilación positiva.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La velocidad de propagación de una onda armónica relaciona la longitud de onda con la frecuencia mediante:

$v=\lambda \cdot f$

Sustituyendo los valores:

$v=\mathrm{1,5}\mathrm{m}\cdot 1000\mathrm{H}\mathrm{z}=1500\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$

$\boxed{{\displaystyle v=1500\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}}}$

Para la amplitud partimos de que cada punto de la cuerda describe un movimiento armónico simple de pulsación:

$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 1000\mathrm{H}\mathrm{z}=2000\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}\approx \mathrm{6283,19}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}$

La velocidad de oscilación es la derivada de la elongación respecto al tiempo, $v_y=A\omega \cos (\omega t-kx+{\phi }_0)$, de modo que su valor máximo es:

$v_{\max }=A\cdot \omega$

Despejando la amplitud:

$A={\displaystyle \frac{v_{\max }}{\omega }}$

Sustituyendo los valores:

$A={\displaystyle \frac{100\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}}{2000\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,05}}{\pi }}\mathrm{m}\approx \mathrm{0,0159}\mathrm{m}$

$\boxed{{\displaystyle A\approx \mathrm{1,59}\cdot {10}^{-2}\mathrm{m}=\mathrm{1,59}\mathrm{c}\mathrm{m}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fase}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{escriba}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{representa}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Como la onda viaja en el sentido positivo del eje $x$, su ecuación tiene la forma:

$y(x,t)=A\mathrm{sen}\text{\hspace{0.17em}⁣}(\omega t-kx+{\phi }_0)$

El número de onda vale:

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{1,5}\mathrm{m}}}={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{m}\approx \mathrm{4,19}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{m}$

Para hallar la fase inicial imponemos la condición del enunciado en el punto $x=0$ y en el instante $t=6\cdot {10}^{-4}\mathrm{s}$, donde $y=\mathrm{0,01}\mathrm{m}$:

$\mathrm{0,01}=A\mathrm{sen}\text{\hspace{0.17em}⁣}(\omega t+{\phi }_0)$

Calculamos primero el argumento conocido $\omega t$:

$\omega t=2000\pi \cdot 6\cdot {10}^{-4}=\mathrm{1,2}\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$

Despejando el seno del argumento total:

$\mathrm{sen}\text{\hspace{0.17em}⁣}(\omega t+{\phi }_0)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,01}}{\mathrm{0,0159}}}=\mathrm{0,628}$

El argumento $\theta =\omega t+{\phi }_0$ tiene dos soluciones posibles. La condición de que la velocidad de oscilación sea positiva exige $v_y=A\omega \cos \theta >0$, es decir, $\cos \theta >0$, lo que selecciona el primer cuadrante:

$\theta =\arcsin (\mathrm{0,628})=\mathrm{0,680}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$

Por tanto, despejamos la fase inicial:

${\phi }_0=\theta -\omega t=\mathrm{0,680}-\mathrm{1,2}\pi =-\mathrm{3,09}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$

que, sumándole $2\pi$ para expresarla en el intervalo $[0,2\pi )$, equivale a:

$\boxed{{\displaystyle {\phi }_0\approx \mathrm{3,19}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(\text{equivalente a }-\mathrm{3,09}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d})}}$

Comprobación: con $\theta =\mathrm{0,680}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ se tiene $\cos \theta \approx \mathrm{0,78}>0$, de modo que la velocidad de oscilación es efectivamente positiva, y $A\mathrm{sen}\theta \approx \mathrm{0,0159}\cdot \mathrm{0,628}=\mathrm{0,01}\mathrm{m}$, en acuerdo con el dato.

Sustituyendo $A$, $\omega$, $k$ y ${\phi }_0$, la expresión matemática de la onda (en unidades SI) es:

$y(x,t)=\mathrm{1,59}\cdot {10}^{-2}\mathrm{sen}\text{\hspace{0.17em}⁣}(2000\pi t-{\displaystyle \frac{4\pi }{3}}x+\mathrm{3,19})\mathrm{m}$

$\boxed{{\displaystyle y(x,t)=\mathrm{1,59}\cdot {10}^{-2}\mathrm{sen}\text{\hspace{0.17em}⁣}(2000\pi t-{\displaystyle \frac{4\pi }{3}}x+\mathrm{3,19})\mathrm{m}}}$

La siguiente gráfica representa la elongación frente al tiempo del punto situado en $x=0$; el periodo es $T=1\mathrm{/}f=1\mathrm{m}\mathrm{s}$ y se ha señalado el punto del enunciado sobre el tramo creciente de la curva, donde la velocidad de oscilación es positiva.