Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Comunidad de Madrid · 2020

A.2 (2 puntos). Un violín emite ondas sonoras con una potencia de $5\cdot {10}^{-3}\mathrm{W}$ cuando se toca la nota Fa de $698\mathrm{H}\mathrm{z}$.

a) Indique razonadamente si la onda es longitudinal o transversal y obtenga su longitud de onda.
b) Calcule el nivel de intensidad sonora que percibe un oyente situado a $20\mathrm{m}$ generado por 15 violines de una orquesta tocando al unísono.

Datos: Intensidad umbral de audición, $I_0={10}^{-12}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$; Velocidad del sonido en el aire, $v=340\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{A.2}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{viol}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{emite}}\mathbf{\text{ondas}}\mathbf{\text{sonoras}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{de}}P=5\cdot {10}^{-3}\mathrm{W}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{toca}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nota}}\mathbf{\text{Fa}}\mathbf{\text{de}}f=698\mathrm{H}\mathrm{z}\mathbf{\text{.}}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{longitudinal}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{transversal}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{obtenga}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El sonido es una onda mecánica que se propaga por la vibración de las partículas del medio (el aire). En este caso las partículas oscilan en la misma dirección en la que avanza la onda, generando zonas alternas de compresión y enrarecimiento (variaciones de presión). Como la dirección de oscilación coincide con la dirección de propagación, se trata de una onda longitudinal.

La longitud de onda se relaciona con la velocidad de propagación y la frecuencia mediante la ecuación fundamental de las ondas:

$v=\lambda \cdot f$

Despejando la longitud de onda:

$\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}$

Sustituyendo los valores:

$\lambda ={\displaystyle \frac{340\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}}{698\mathrm{H}\mathrm{z}}}=\mathrm{0,487}\mathrm{m}$

Por tanto, la onda es longitudinal y su longitud de onda vale:

$\boxed{{\displaystyle \lambda =\mathrm{0,487}\mathrm{m}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{sonora}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{percibe}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{oyente}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{a}}r=20\mathrm{m}\mathbf{\text{generado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{15}}\mathbf{\text{violines}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{orquesta}}\mathbf{\text{tocando}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{un}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{sono.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Un foco sonoro puntual radia su energía por igual en todas las direcciones, de modo que la potencia se reparte sobre la superficie de una esfera de radio igual a la distancia al foco. La intensidad sonora (potencia por unidad de superficie) producida por un solo violín a una distancia $r$ es:

$I_1={\displaystyle \frac{P}{4\pi r^2}}$

Sustituyendo los valores:

$I_1={\displaystyle \frac{5\cdot {10}^{-3}\mathrm{W}}{4\pi (20\mathrm{m}{)}^2}}={\displaystyle \frac{5\cdot {10}^{-3}}{\mathrm{5026,5}}}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}=\mathrm{9,95}\cdot {10}^{-7}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$

La intensidad es una magnitud que mide la energía por unidad de tiempo y superficie; las intensidades de focos incoherentes que llegan al mismo punto se suman. Como los 15 violines tocan al unísono y están, a efectos del cálculo, a la misma distancia del oyente, la intensidad total es:

$I=N\cdot I_1=15\cdot \mathrm{9,95}\cdot {10}^{-7}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}=\mathrm{1,49}\cdot {10}^{-5}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$

El nivel de intensidad sonora se define en la escala logarítmica de decibelios respecto a la intensidad umbral de audición:

$\beta =10{\log }_{10}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{I}{I_0}}\right)$

Sustituyendo los valores:

$\beta =10{\log }_{10}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{\mathrm{1,49}\cdot {10}^{-5}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}}{{10}^{-12}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}}}\right)=10{\log }_{10}\text{\hspace{0.17em}⁣}(\mathrm{1,49}\cdot {10}^7)$

$\beta =10\cdot \mathrm{7,174}=\mathrm{71,7}\mathrm{d}\mathrm{B}$

Por tanto, el nivel de intensidad sonora que percibe el oyente es:

$\boxed{{\displaystyle \beta =\mathrm{71,7}\mathrm{d}\mathrm{B}}}$