Ejercicio resuelto de Costes y umbral de rentabilidad · Economía

Durante el primer trimestre de 2025, Ana y Alberto vendieron 3.150 unidades de productos ecológicos. El precio medio por unidad fue de 4,30 euros y el coste variable de 1,85 euros por unidad de producto ecológico. Los costes fijos del trimestre ascendieron a 5.300 euros.

Se pide:

a) Calcule el beneficio o pérdida obtenida durante el trimestre. (0,80 puntos).

b) Calcule el Umbral de Rentabilidad o Punto Muerto para el primer trimestre de 2025 y razone el resultado. Represente gráficamente el punto muerto. (1 punto).

c) Si desean aumentar su beneficio trimestral en 1.300 euros sin variar precios ni costes, ¿cuántas unidades de productos ecológicos deben vender de más respecto al primer trimestre? (0,70 puntos).

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{p}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rdida}}\mathbf{\text{obtenida}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trimestre.}}\mathbf{\text{[0,80}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El beneficio se obtiene multiplicando las unidades vendidas por el margen que deja cada una —la diferencia entre el precio y el coste variable unitario— y restando el coste fijo:

$B=Q\cdot (p-C{v}_u)-CF$

$B=3.150\cdot (\mathrm{4,30}-\mathrm{1,85})-5.300$

$B=3.150\cdot \mathrm{2,45}-5.300=\mathrm{7.717,50}-5.300=\mathrm{2.417,50}$

Durante el primer trimestre de 2025 Ana y Alberto obtuvieron un beneficio de 2.417,50 euros.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{Umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Rentabilidad}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{Punto}}\mathbf{\text{Muerto}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{trimestre}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2025}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{razone}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{resultado.}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{muerto.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El umbral de rentabilidad es la cantidad de unidades para la que los ingresos totales igualan a los costes totales, y se obtiene repartiendo el coste fijo entre el margen que deja cada unidad:

$Q^{\ast }={\displaystyle \frac{CF}{p-C{v}_u}}$

$Q^{\ast }={\displaystyle \frac{5.300}{\mathrm{4,30}-\mathrm{1,85}}}={\displaystyle \frac{5.300}{\mathrm{2,45}}}=\mathrm{2.163,27}$

El umbral de rentabilidad del primer trimestre de 2025 es de 2.163,27 unidades, es decir, 2.164 unidades.

Significa que la tienda tiene que vender esa cantidad solo para cubrir sus costes, sin ganar ni perder: con ella los ingresos coinciden exactamente con los costes totales. Por debajo, el margen acumulado no cubre los 5.300 euros de coste fijo del trimestre y hay pérdidas; por encima, cada unidad aporta íntegramente sus 2,45 euros de margen al beneficio. Como vendieron 3.150 unidades, superaron el umbral en 986,73 unidades, y esas unidades por 2,45 euros de margen dan precisamente los 2.417,50 euros de beneficio del apartado anterior.

Gráficamente, los ingresos totales son una recta que sale del origen con pendiente 4,30 y los costes totales una recta que arranca en los 5.300 euros del coste fijo y crece con pendiente 1,85. El punto muerto es donde ambas se cortan.



A la izquierda del corte la recta de costes va por encima de la de ingresos y la distancia entre ambas es la pérdida; a la derecha ocurre lo contrario y esa distancia es el beneficio.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{desean}}\mathbf{\text{aumentar}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{trimestral}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{1.300}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{variar}}\mathbf{\text{precios}}\mathbf{\text{ni}}\mathbf{\text{costes,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{productos}}\mathbf{\text{ecol}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{gicos}}\mathbf{\text{deben}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{trimestre?}}\mathbf{\text{[0,70}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Si no varían ni el precio ni los costes, el coste fijo sigue siendo el mismo y cada unidad adicional aporta íntegramente su margen de 2,45 euros al beneficio. Basta, por tanto, con repartir el aumento deseado entre ese margen:

$\mathrm{\Delta }Q={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }B}{p-C{v}_u}}={\displaystyle \frac{1.300}{\mathrm{2,45}}}=\mathrm{530,61}$

Deben vender 530,61 unidades más que en el primer trimestre, es decir, 531 unidades adicionales.

Puede comprobarse: vendiendo 3.150 más 530,61, es decir, 3.680,61 unidades, el beneficio sería

$B=\mathrm{3.680,61}\cdot \mathrm{2,45}-5.300=\mathrm{9.017,50}-5.300=\mathrm{3.717,50}$

que son exactamente los 2.417,50 euros del primer trimestre más los 1.300 euros de aumento deseado.