Ejercicio resuelto de Costes y umbral de rentabilidad · Economía

Una bodega ubicada en Lanzarote facturó 160.000 euros en 2023 por la venta de 8.000 botellas de vino.

Se pide:

a) Sabiendo que el coste variable es de 15 euros por botella y que el coste fijo anual ascendió a 80.000 euros en 2023, calcule el umbral de rentabilidad o punto muerto para 2023. Explique qué indica el valor obtenido. Realice la representación gráfica del umbral de rentabilidad. (1 punto).

b) Calcule el beneficio obtenido en 2023. Si en 2024 el precio se incrementa en un 10% y los costes permanecen constantes e iguales a los de 2023 ¿cuántas botellas tendría que vender en 2024 para alcanzar el mismo beneficio que en 2023? (0,50 puntos).

c) Explique qué es un coste fijo. (0,50 puntos).

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{variable}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{15}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{botella}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{fijo}}\mathbf{\text{anual}}\mathbf{\text{ascendi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{80.000}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{2023,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rentabilidad}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{muerto}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{2023.}}\mathbf{\text{Explique}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{indica}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{obtenido.}}\mathbf{\text{Realice}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{representaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rentabilidad.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Primero se obtiene el precio de venta, dividiendo la facturación entre las botellas vendidas:

$p={\displaystyle \frac{160.000}{8.000}}=20$

Cada botella se vende a 20 euros y cuesta 15 euros de coste variable, de modo que deja un margen de 5 euros.

El umbral de rentabilidad es la cantidad para la que los ingresos totales igualan a los costes totales, y se obtiene repartiendo el coste fijo entre ese margen:

$Q^{\ast }={\displaystyle \frac{CF}{p-C{v}_u}}={\displaystyle \frac{80.000}{20-15}}={\displaystyle \frac{80.000}{5}}=16.000$

El umbral de rentabilidad de 2023 es de 16.000 botellas.

El valor obtenido indica que la bodega tiene que vender 16.000 botellas solo para cubrir sus costes, sin ganar ni perder: con esa cantidad los ingresos, 320.000 euros, coinciden con los costes totales. Y revela un problema serio, porque en 2023 la bodega solo vendió 8.000 botellas, la mitad del umbral: está muy por debajo del punto muerto y, por tanto, en pérdidas.

Gráficamente, los ingresos totales son una recta que sale del origen con pendiente 20 y los costes totales una recta que arranca en los 80.000 euros del coste fijo y crece con pendiente 15. El umbral es el punto en que ambas se cortan.



A la izquierda de las 16.000 botellas la recta de costes va por encima de la de ingresos y la distancia entre ambas es la pérdida; a la derecha ocurre lo contrario y esa distancia es el beneficio.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{2023.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{2024}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{incrementa}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{10\%}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{costes}}\mathbf{\text{permanecen}}\mathbf{\text{constantes}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{iguales}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2023}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{botellas}}\mathbf{\text{tendr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{2024}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{alcanzar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{2023?}}\mathbf{\text{[0,50}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El resultado de 2023 se obtiene multiplicando las botellas vendidas por el margen unitario y restando el coste fijo:

$B_{2023}=8.000\cdot (20-15)-80.000=40.000-80.000=-40.000$

En 2023 la bodega no obtuvo beneficio, sino una pérdida de 40.000 euros. Era de esperar, porque vendió 8.000 botellas frente a un umbral de 16.000: le faltaron 8.000 botellas, y cada una de ellas habría aportado 5 euros de margen, que son exactamente los 40.000 euros que se pierden.

En 2024 el precio sube un 10 %:

$p^{\mathrm{\prime }}=20\cdot \mathrm{1,10}=22$

Con los costes constantes, el margen unitario pasa a ser de 7 euros. Para alcanzar el mismo resultado que en 2023, es decir, una pérdida de 40.000 euros, se plantea:

$Q\cdot (22-15)-80.000=-40.000$

$7Q=40.000$

$Q={\displaystyle \frac{40.000}{7}}=\mathrm{5.714,29}$

La bodega tendría que vender 5.714,29 botellas en 2024, es decir, 5.715 botellas, para obtener el mismo resultado que en 2023.

El resultado tiene sentido: al subir el precio y mantenerse los costes, cada botella deja ahora 7 euros en vez de 5, de modo que la bodega necesita vender menos para llegar al mismo punto. Conviene señalar, en todo caso, que ese punto sigue siendo una pérdida: con el nuevo precio el umbral de rentabilidad baja a 11.428,57 botellas, y solo superando esa cifra la bodega empezaría a ganar dinero.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Explique}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{fijo.}}\mathbf{\text{[0,50}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Un coste fijo es aquel que la empresa soporta con independencia del nivel de actividad: existe aunque no se produzca ni una sola unidad y no aumenta si se produce más, al menos dentro de una capacidad instalada dada.

En el caso de la bodega, los 80.000 euros anuales de coste fijo hay que pagarlos tanto si se embotellan 8.000 botellas como si se embotellan 20.000. Son ejemplos habituales de coste fijo el alquiler o la amortización de la nave, los seguros, los sueldos del personal fijo, los impuestos locales y los gastos de estructura.

Su rasgo más importante para la gestión es que su coste unitario disminuye a medida que crece la producción, porque los mismos euros se reparten entre más unidades: con 8.000 botellas, cada una carga con 10 euros de coste fijo, mientras que con 16.000 solo carga con 5. En eso consisten las economías de escala, y es la razón de que a la bodega le resulte decisivo elevar el volumen de ventas.

Se opone al coste variable, que depende directamente del volumen producido —los 15 euros por botella de uva, embotellado y etiquetado— y que desaparece si no se produce nada, mientras que su coste unitario permanece constante. La suma de ambos da el coste total:

$CT=CF+C{v}_u\cdot Q$

Conviene precisar que los costes fijos solo lo son a corto plazo y dentro de un tramo de capacidad: si la bodega quisiera pasar de 20.000 a 100.000 botellas tendría que ampliar la nave, y su coste fijo saltaría a un nivel superior.