Ejercicio resuelto de Costes y umbral de rentabilidad · Economía

PREGUNTA 1. PUNTO MUERTO. (2,5 puntos)

Es contratado por una asesoría y le encargan el cálculo del umbral de rentabilidad de uno de los clientes. Se trata de una empresa dedicada a la venta de envases de vidrio, que obtuvo en el último ejercicio unos ingresos totales de 40.000 euros por la venta de 4.000 envases. Sus costes fijos ascendieron a 2.800 euros y sus costes variables totales fueron 12.000 euros.

A partir de esta información, teniendo en cuenta que todos los envases son idénticos y se venden al mismo precio, le piden que resuelva estos tres apartados:

1.1. Determine el umbral de rentabilidad o punto muerto de la empresa (1 punto)

1.2. Represente gráficamente la situación e interprete el resultado. (1 punto)

1.3. Determine cómo afectaría al valor del punto muerto una reducción de un 20% en el precio de venta de cada envase. Exprese la variación en términos porcentuales. (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{1.1.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rentabilidad}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{muerto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El umbral de rentabilidad o punto muerto es el número de unidades que la empresa tiene que vender para que los ingresos totales igualen a los costes totales, es decir, para que el beneficio sea nulo.

Primero se obtienen el precio de venta y el coste variable unitario a partir de los datos del ejercicio, dividiendo los importes totales entre los 4.000 envases vendidos:

$p={\displaystyle \frac{IT}{Q}}={\displaystyle \frac{40.000}{4.000}}=10$

$CVu={\displaystyle \frac{CV}{Q}}={\displaystyle \frac{12.000}{4.000}}=3$

El precio es de 10 € por envase y el coste variable unitario, de 3 €, de modo que cada envase deja un margen de cobertura de 7 € con el que ir cubriendo los costes fijos. Igualando ingresos y costes totales:

$IT=CT\to p\cdot Q=CF+CVu\cdot Q$

$Q^{\ast }={\displaystyle \frac{CF}{p-CVu}}={\displaystyle \frac{2.800}{10-3}}=400$

El umbral de rentabilidad está en 400 envases, a los que corresponde una cifra de ingresos de $10\cdot 400=4.000$ €.

$\mathbf{\text{1.2.}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{situaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{interprete}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{resultado.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Se representan frente a la cantidad producida y vendida la recta de ingresos totales, $IT=10\cdot Q$, que parte del origen; la de costes totales, $CT=2.800+3\cdot Q$, que arranca en el coste fijo y tiene menor pendiente; y la horizontal de los costes fijos, $CF=2.800$ €. Las dos primeras se cortan en el punto muerto.



La interpretación es la siguiente. Por debajo de 400 envases la recta de costes totales queda por encima de la de ingresos y la empresa incurre en pérdidas, porque el margen acumulado no basta para cubrir los 2.800 € de costes fijos. En 400 envases ambas se cortan: los ingresos, 4.000 €, igualan exactamente a los costes y el beneficio es cero. A partir de ahí cada envase vendido aporta 7 € íntegros de beneficio.

La empresa, que vende 4.000 envases, opera muy por encima de su punto muerto: multiplica por diez el mínimo necesario y obtiene un beneficio de $40.000-(2.800+12.000)=25.200$ €. Dispone, por tanto, de un margen de seguridad amplísimo ante una caída de la demanda.

$\mathbf{\text{1.3.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mo}}\mathbf{\text{afectar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{muerto}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{reducci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{20\%}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{envase.}}\mathbf{\text{Exprese}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{variaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rminos}}\mathbf{\text{porcentuales.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Al bajar el precio un 20 % el nuevo precio de venta es:

$p^{\mathrm{\prime }}=10\cdot (1-\mathrm{0,2})=8$

Los costes fijos y el coste variable unitario no cambian, así que el margen de cobertura se reduce de 7 € a 5 € por envase y el nuevo umbral es:

$Q^{\ast \mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{CF}{p^{\mathrm{\prime }}-CVu}}={\displaystyle \frac{2.800}{8-3}}=560$

La variación porcentual del punto muerto es:

${\displaystyle \frac{Q^{\ast \mathrm{\prime }}-Q^{\ast }}{Q^{\ast }}}\cdot 100={\displaystyle \frac{560-400}{400}}\cdot 100=40\mathrm{\%}$

El punto muerto pasa de 400 a 560 envases, un aumento del 40 %. Obsérvese que una rebaja del 20 % en el precio provoca un aumento del doble en el punto muerto: la razón es que el precio no baja sobre el coste total, sino sobre el margen de cobertura, que es solo el 70 % del precio y, por tanto, mucho más sensible. Con sus 4.000 envases la empresa seguiría cómodamente en beneficios, aunque estos caerían a $4.000\cdot 5-2.800=17.200$ €.