Ejercicio resuelto de Costes y umbral de rentabilidad · Economía

PREGUNTA 6. Resuelva el siguiente problema:

Una empresa dedicada a la confección de pantalones obtuvo en el último ejercicio unos ingresos totales de 200.000€ por la venta de 4.000 pantalones. Sus costes fijos ascendieron a 20.000€ y sus costes variables totales fueron 120.000€. A partir de esta información, teniendo en cuenta que todos los pantalones son idénticos y se venden al mismo precio, se pide:

a) Determine el umbral de rentabilidad o punto muerto de la empresa. (1 punto)

b) Represente gráficamente la situación e interprete el resultado. (1 punto)

c) Determine cómo afectaría al punto muerto una reducción del 20% en el precio de venta de cada pantalón. Exprese la variación en términos porcentuales. (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rentabilidad}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{muerto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El umbral de rentabilidad o punto muerto es el número de unidades que la empresa tiene que vender para que los ingresos totales igualen a los costes totales, es decir, para que el beneficio sea nulo.

Primero se obtienen el precio de venta y el coste variable unitario a partir de los datos del ejercicio, dividiendo los importes totales entre los 4.000 pantalones vendidos:

$p={\displaystyle \frac{IT}{Q}}={\displaystyle \frac{200.000}{4.000}}=50$

$CVu={\displaystyle \frac{CV}{Q}}={\displaystyle \frac{120.000}{4.000}}=30$

El precio es de 50 € por pantalón y el coste variable unitario, de 30 €, de modo que cada pantalón deja un margen de cobertura de 20 € para ir cubriendo los costes fijos. Igualando ingresos y costes totales:

$IT=CT\to p\cdot Q=CF+CVu\cdot Q$

$Q^{\ast }={\displaystyle \frac{CF}{p-CVu}}={\displaystyle \frac{20.000}{50-30}}=1.000$

El umbral de rentabilidad está en 1.000 pantalones, a los que corresponde una cifra de ingresos de $50\cdot 1.000=50.000$ €.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{situaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{interprete}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{resultado.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Se representan frente a la cantidad producida y vendida la recta de ingresos totales, $IT=50\cdot Q$, que parte del origen; la de costes totales, $CT=20.000+30\cdot Q$, que arranca en el coste fijo y tiene menor pendiente; y la horizontal de los costes fijos, $CF=20.000$ €. Las dos primeras se cortan en el punto muerto.



La interpretación es la siguiente. Por debajo de 1.000 pantalones la recta de costes totales queda por encima de la de ingresos y la empresa incurre en pérdidas, porque el margen acumulado no basta para cubrir los 20.000 € de costes fijos. En 1.000 pantalones ambas se cortan: los ingresos, 50.000 €, igualan exactamente a los costes y el beneficio es cero. A partir de ahí cada pantalón vendido aporta 20 € íntegros de beneficio.

La empresa, que vende 4.000 pantalones, opera muy por encima de su punto muerto: cuadruplica el mínimo necesario y obtiene un beneficio de $200.000-(20.000+120.000)=60.000$ €. Dispone, por tanto, de un amplio margen de seguridad ante una caída de la demanda.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mo}}\mathbf{\text{afectar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{muerto}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{reducci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{20\%}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{pantal}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{Exprese}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{variaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rminos}}\mathbf{\text{porcentuales.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Al bajar el precio un 20 % el nuevo precio de venta es:

$p^{\mathrm{\prime }}=50\cdot (1-\mathrm{0,2})=40$

Los costes fijos y el coste variable unitario no cambian, así que el margen de cobertura se reduce de 20 € a 10 € por pantalón y el nuevo umbral es:

$Q^{\ast \mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{CF}{p^{\mathrm{\prime }}-CVu}}={\displaystyle \frac{20.000}{40-30}}=2.000$

La variación porcentual del punto muerto es:

${\displaystyle \frac{Q^{\ast \mathrm{\prime }}-Q^{\ast }}{Q^{\ast }}}\cdot 100={\displaystyle \frac{2.000-1.000}{1.000}}\cdot 100=100\mathrm{\%}$

El punto muerto se duplica: pasa de 1.000 a 2.000 pantalones, un aumento del 100 %. Una rebaja del 20 % en el precio obliga a vender el doble solo para no perder dinero, porque el precio no baja sobre el coste total sino sobre el margen de cobertura, que es la mitad del precio y por tanto mucho más sensible. La empresa seguiría en beneficios con sus 4.000 pantalones, pero su margen de seguridad se reduciría a la mitad.