Ejercicio resuelto de Costes y umbral de rentabilidad · Economía

PREGUNTA 6. Resuelva el siguiente problema:

Una empresa que fabrica 1.200 automóviles al año está pensando en la posibilidad de producir ella misma los motores para los coches. La producción de los motores supone soportar unos costes fijos de 200.000 € anuales y un coste variable unitario de 100 €. Una empresa auxiliar le cobra 200 € por cada motor.

Se pide:

a) Bajo estas circunstancias, determine si a la empresa le interesa producir o comprar los motores a la empresa auxiliar. Razone la respuesta. (1 punto)

b) Calcule el número de automóviles que tendría que fabricar para que le sea indiferente comprar los motores o producirlos ella misma. (1 punto)

c) Represente gráficamente la situación anterior. (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Bajo}}\mathbf{\text{estas}}\mathbf{\text{circunstancias,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{interesa}}\mathbf{\text{producir}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{comprar}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{motores}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{auxiliar.}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Se comparan los costes totales de las dos alternativas para los 1.200 automóviles que la empresa fabrica al año, es decir, para 1.200 motores.

Producirlos supone soportar los costes fijos anuales más el coste variable de cada motor:

$C{T}_{producir}=CF+CVu\cdot Q$

$C{T}_{producir}=200.000+100\cdot 1.200=320.000$

Comprarlos a la empresa auxiliar solo tiene coste variable, el precio de cada motor:

$C{T}_{comprar}=P\cdot Q$

$C{T}_{comprar}=200\cdot 1.200=240.000$

A la empresa le interesa comprar los motores: le cuestan 240.000 € frente a los 320.000 € que le costaría producirlos, con un ahorro de 80.000 € al año. La razón es que con solo 1.200 motores los 200.000 € de costes fijos se reparten entre muy pocas unidades y encarecen enormemente cada motor propio.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{autom}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{viles}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tendr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{fabricar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{indiferente}}\mathbf{\text{comprar}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{motores}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{producirlos}}\mathbf{\text{ella}}\mathbf{\text{misma.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El punto de indiferencia es la cantidad para la que las dos alternativas cuestan lo mismo. Se igualan sus costes totales:

$C{T}_{producir}=C{T}_{comprar}$

$200.000+100\cdot Q=200\cdot Q$

$Q_{pm}={\displaystyle \frac{CF}{P-CVu}}={\displaystyle \frac{200.000}{200-100}}=2.000$

Con 2.000 automóviles al año a la empresa le da igual comprar que producir: las dos opciones le cuestan 400.000 €. Por debajo de esa cifra conviene comprar y por encima conviene producir, porque el ahorro de 100 € por motor en coste variable acaba compensando los 200.000 € de coste fijo.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{situaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{anterior.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se dibujan las dos funciones de coste frente al número de motores. La de comprar, $C{T}_{comprar}=200\cdot Q$, parte del origen porque no tiene coste fijo y tiene la pendiente mayor. La de producir, $C{T}_{producir}=200.000+100\cdot Q$, arranca en 200.000 € y crece con la mitad de pendiente. Ambas se cortan en el punto de 2.000 motores y 400.000 € de coste, que separa la zona en la que conviene comprar —a la izquierda, donde la empresa se sitúa hoy con sus 1.200 automóviles— de aquella en la que conviene producir.